Question

ねーむ

解説お願いします<(_ _)>

𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)𝛼とおいて𝑓′′(𝑥) = 𝑑2𝑓(𝑥)を求めよ。そして、𝑓′′(0)を求めよ。その結果を 𝑑𝑥2
用いて、(1 + 𝑥)𝛼のテーラー(マクローリン)展開を2次の項まで求めよ。

Answer 1

gößt

めっちゃ文字化けしててわかんないです(^_^;)

ねーむ

それは大変失礼いたしました(>_<;)こちらでいかがでしょうか？

gößt

すみません…私の知識不足のため、dx2を用いて、の部分がどういう意味だか分かりませんでした。d²f/dx²と関係あるんですかね？微分形式？できれば授業ノートなど見せていただけると分かるかもしれません

とりあえず、私の分かる範囲で回答しておきます。(1+x)αは(1+x)のα乗のことですよね？以下では(1+x)^αと書くことにします

f(x)=(1+x)^α のとき
f'(x)=α(1+x)^(α-1)
f"(x)=α(α-1)(1+x)^(α-2)
より
f'(0)=α
f"(0)=α(α-1)

したがって、f(x)のx=0のまわりでの2次のマクローリン展開は
f(x)=f(0)+f'(0)x+{f"(0)/2!}x²+o(x²)
=1+αx+{α(α-1))/2}x²+o(x²)
となります