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wouldn't＝would not なので
What wouldn't I do to support my family? を
What would I not do to support my family? と書くこともできます。
（ただし堅い表現になります。）
この文自体が修辞疑問文で
「家族を支えるために私は何をしないだろうか。」→
「家族を支えるためなら私は何でもする。」
という強意的な表現なので、堅い表現が合うとも考えられます。
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