Question

うつみん

どのように証明すれば良いのか教えて欲しいです！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

積分と不等式の関係を利用した問題ですね。画像の赤い長方形の面積の和より、青い部分の面積の方が大きいことを利用して不等式を立てればOKです

うつみん

これで合ってますか？

gößt

大きな方向性としてはあっていますが、選ぶべき不等式を間違えていますね…

いただいた解答を見ると、「両辺をそれぞれすべて加えて」の前後で不等号の向きが逆になっています。それまでは積分値の方が小さかったのに全部加えたあとは積分値の方が大きくなっています。ここに問題がありますね

最終的な形として
1+1/√2+1/√3+…+1/√n＜(なにか)
という形がほしいので、はじめに採用する不等式は
1/√(k+1)＜1/√x
のほうでなければなりません。これを[k,k+1]で積分しk=1からk=n-1まで足し合わせると
1/√2+…+1/√n＜∫[1,n](1/√x)dx
となります(確認してみてください)。調整のために両辺に1を足して積分を計算すればもう答えには辿り着けるでしょう

また、上の説明の中で k=1からk=n-1まで足し合わせる、と書きましたがもしn=1だったらk=1からk=0まで足すというおかしなことになってしまうため、n=1のときとn≧2のときで場合分けが必要になってきますね

うつみん

訂正したのを最初から説明してほしいです！何度もすいませんm(｡>__<｡)m

gößt

(解)
n=1のとき、
(左辺)=1, (右辺)=2√1=2
より不等式は成り立つ

n≧2のとき、関数 f(x)=1/√x について考える
これは減少関数だからある区間k<x<k+1において
f(k+1)<f(x)<f(k)
つまり 1/√(k+1)<1/√x<1/√k となる
特に、1/√(k+1)<1/√x
よって、区間k<x<k+1において両辺を積分すると
∫[k,k+1]{dx/√(k+1)} < ∫[k,k+1](dx/√x)
1/√(k+1) < ∫[k,k+1](dx/√x) … ①
k=1,2,3,⋯,n-1として①の両辺をそれぞれ足し合わせると
1/√2+1/√3+…+1/√n
<∫[1,2](dx/√x)+∫[2,3](dx/√x)+…+∫[n-1,n](dx/√x)
ゆえに
1/√2+1/√3+…+1/√n < ∫[1,n](dx/√x)
= [2√x][1,n]
= 2√n-2
両辺に1を加えて
1+1/√2+…+1/√n < 2√n-1
< 2√n
よって不等式は成り立つ
以上より、全ての自然数nで成り立つ