行列の対角化のやり方教えてください！

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gößt

8年弱前

行列の対角化は

[1]固有値を求める
[2]固有ベクトルを求める
必要なら固有ベクトルを正規直交化する
[3]固有ベクトルを並べて正則行列をつくる
[4][3]で得た行列の逆行列を求める
[5]対角化する

という流れで求めます。具体的にどこが分からないか言っていただければもう少し詳しく説明します

ゲスト 8年弱前

(2)の必要なときって具体的にどんなときですか
正規直交化とはなんですか

gößt 8年弱前

問題21のように、実対称行列を直交行列で対角化するときに必要な場合があります

まず正規直交化の意味について述べますと
正規⋯(ベクトルが)大きさ1であること
直交⋯複数のベクトルが互いに直交していること
です。つまり固有ベクトルの正規直交化とは、得られた固有ベクトルを大きさが1でどの２つのベクトルも直交するように取り直すことです

実対称行列においては、異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する、という事実があるためn次正方行列において固有値がn個得られた場合はそれぞれの固有ベクトルを大きさ1に取り直すだけでOKです。問題21はどちらもこの場合に当てはまりますね

ゲスト 8年弱前

丁寧な解説ありがとうございます
異なる固有値に対する〜大きさ1に取り直すの部分が分かりません！
何回もすみません

gößt 8年弱前

問題21(1)を例にやってみます

固有多項式は
| λ-3 1 | ＝ (λ-2)(λ-4)
| 1 λ-3 |
なので固有値は2,4です

それぞれの固有値に対する固有ベクトルは
<λ=2>
( -1 1 )(x) ＝ (0)
( 1 -1 )(y) (0)
の解として (x,y)=(1,1) が取れる
<λ=4>
( 1 1 )(x) ＝ (0)
( 1 1 )(y) (0)
の解として (x,y)=(1,-1) が取れる
したがって、固有ベクトルの組として
x₁=(1) x₂=( 1)
(1), (-1)
が取れます
(先に説明したようにx₁, x₂は異なる固有値に対する固有ベクトルなので直交します。試しに２つのベクトルの内積を計算して見ると
1•1+1•(-1)=0
となりますね)

これで固有のベクトルは得られたわけですが、x₁, x₂ともに大きさが√2になっています。そこで、
x₁
y₁＝—–＝(1/√2)
|x₁| (1/√2)
x₂
y₂＝—–＝( 1/√2)
|x₂| (-1/√2)
とすることで大きさ1の固有ベクトルy₁, y₂ を得ることができます

あとはy₁, y₂ を並べた行列が直交行列になるので対角化できる、という流れです