✨ ベストアンサー ✨
確認したいのですが、AやUは ℝ (または ℝⁿ )の部分集合ということでよろしいですか？一般の距離空間だと成り立たないような気がします
それなら大丈夫ですね
f:A→ℝ を
f(a)＝d(a,∂U)
により定義すると、fは有界閉集合上の連続関数なので最小値をもちます
よって最小値を与えるa∈Aの一つをとり、a₀とすれば
d(A,∂U)＝inf[a∈A]d(a,∂U)
＝d(a₀,∂U)
ここで、a₀∈U でありUは開集合なので
∃ε>0 s.t. U(a₀,ε)⊂U
(U(a₀,ε)はa₀中心、半径εの開球体です)
したがって、
∀x∈∂U, d(a₀,x)≧ε
なので
d(a₀,∂U)＝inf[x∈∂U]d(a₀,x)
≧ε>0
ゆえに
d(A,∂U)>0
が示されました
なるほど！
有界性をどうやって使うのか分からなかったのですが、最大値、最小値定理を忘れていました
ありがとうございます！
解決してよかったです(｀・ω・´)
2次元ユークリッド空間です！