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この用法は代名詞の「後方照応」と呼ばれるものです。
代名詞は既出の名詞句を受ける前方照応が基本ですが、先に代名詞を置き、あとから新出の名詞句を置く場合があります。日本語ではあり得ないことですが、英語では珍しいことではありません。
注意すべき点は”同じ１文内で”この後方照応が起こるのは「指示対象が構成構造上、上位の位置にある」ときだけです。例文では従属節であるWhen節内に代名詞heが置かれ、後ろの主節に人名Miyazaki Hayaoが置かれています。従属節と主節では主節のほうが上位になります。
今回の例文で代名詞と名詞の順番を入れ替えると、
When Miyazaki Hayao, the director, was making this movie, he was strongly inspired by this mysterious forest.
となり、Miyazaki Hayaoだけでなく同格のthe directorも一緒に前に出さなければなりません。従属節に主要な情報が入りすぎてバランスがよくないので、後方照応が使われていると思われます。
ものすごく詳しくありがとうございます！！！