回答
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y=-x^2+2ax+1(0≦x≦4)は上に凸な放物線の一部なので最小値は端点が与える.
すなわちf(x)=-x^2+2ax+1としたとき, min{f(0),f(4)}[f(0)とf(4)のうち小さい方]が最小値となる.
f(0)=1, f(4)=-16+8a+1=8a-15なので
f(0)≧f(4)のとき, すなわち1≧8a-15⇔a≦2のとき, min{f(0),f(4)}=f(4)=8a-15
f(0)<f(4)のとき, すなわち1<8a-15⇔a>2のとき, min{f(0),f(4)}=f(0)=1
以上をまとめて
a≦2のときは最小値8a-15, a>2のときは最小値が1である.
***
右で間違えたのは定義域が[0,4]なのに, 軸に惑わされて定義域が[2,4]であると錯覚したのでしょう.
図を描くときは関係のない領域, あるいは興味のある領域に斜線を入れることで, 定義域を明確化させればミスは防げます.
丁寧にありがとうございます!!
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