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この問題は、中3の図形で習う三平方の定理を利用すれば一瞬で√2であることがわかります。しかし、この問題の意図を汲んで別の方法で解きます。
三角形の面積の公式は底辺×高さ×1/2です。底辺というと、一番図の中で下の辺(今回だとBC)と思うかもしれませんが、底辺をどことみなしたとしてもOKです。例えば、ABを底辺とすれば、それに垂直なACが高さになりますし、BCを底辺とすればそれに垂直なAHが高さになります。
すなわち、面積公式はどこを底辺と見なすのかで2通りに解釈できるということです。
ということは△ABCの面積は、ABを底辺とみなすと、底辺(AB)×高さ(AC)×1/2=1×1×1/2=1/2と求まります。
これは、BCを底辺と見なしたとしても、同じ三角形なので当然面積は変わりません。BC×AH×1/2=1/2となり、BC×AH=1となります。
ここで、△AHBはAH=BHの直角二等辺三角形であることを利用します。「二等辺三角形の頂角から下ろした垂線は底辺を二等分する」ので(二等辺三角形の性質。中2図形で習うと思います。)BH=BC/2 →2BH=BCです。
よって、BC×AH=2BH×AH=1となります。
BH=AH(=xとする)より
2x^2=1
x^2=1/2
xは2乗すると1/2になる数なので、平方根の定義からxは1/2の平方根。
よってx=1/√2(x≧0)となります。
よって、BC=2/√2となり、有理化すると√2になります。
したがって1:√2になります。
ポイントとしては
①三角形の底辺をどこと見るかを変えることで面積は何通りかで表せること
②二等辺三角形の性質利用
③平方根の定義
①②は、図形の応用問題を解くときによく使います。①は単元としてはっきりと習うことはあんまりないですし、どちらかというと発想の転換で、②は中2の図形のところで習うもののあんまり詳しくはやらないので抜けがち+3年の図形問題だという認識から使おうと思いにくいので特に意識して使えるようにしてください。こういう経験の差が、ある程度の基礎が身に付いていても、難しい図形問題が解けるか解けないかの差です。
③は平方根の意味をわかってるかということで、これがわかってないと作業として解いてるだけなので成長しません。がっつり3章の二次方程式で使います。
ありがとうございますm(_ _)m
今後ともよろしくお願いしますp(^^)q