Question

島倉有純

ニュートン法の不変性について
添付画像の波線部分の証明が分かりません。ご教授いただけたら幸いです。

ニュートン法の1 次変換に対する不変性: ニュートン方向は, 最急降下方向と直e,
変数の定数倍という変換に対し不変性がある (影響を受けない) という特徴をもつ、簡
えば変数ベクトルァニテ(+i, .…, zz) に対し, 正の実数係数 (2+ .…。 2z) で変数を スケ玩砺
変換した新たな変数 ニァ:/2, について議論しよう. 与えられた関数(>) に対し』
の)デア(のか, .…) のzの) と定義する. (る, …。 g) を対角成分にもつ zXヶ行列を 4 と書
く. すると, **ー4g* を満たす y* と のに対し, 勾配ベクトルについては Yg(@り=
4 TV7(e) が成り立ちゆ, ヘッ行列についてはYYg(ゅの=4TV(う4が成り立っ
(証明は読者に任せる'?). これより, 点 〆 での関数7に対するニュートン 方向は,
ー(V7g(gりVCがの)デー4(Vプ(YO (4 リ 2 VIニース IO IE UI
となっている. ゆえにのニュートン方向は gのニュートン方向を 4 で変換して得ら
れる, すなわち 一(Vゲが(*り)-'V7(*り=テ4(一(V79(ぁの) Vg(みの) が成り立っていること
がなわかる.。 これ よう人4 を衝電 ン方向は変数の定数借と いう変換でも影響を受けな

い!9

 

ヘッ行列 Vゲ7(*?) が正定値ならば, その逆行列 (Vゲ(9)~ が存在し正定値
行列となることから。 ニュェエトドレンカ条 VCO ION
(が(9)-'V7(ァ)=0 を満たし,  最急降下方向 一V7(*?り との角度が90'以
内であることがわかる < れに加えxy*が停留点でをければ, 一V/(xり"
リー na ANSn っが胡わ立ち。最信隆思玉向Iに の 角請還OMNNあ

ニュートン法 勾配ベクトル ヘッセ行列 不変性