Question

あいす

(2)〜(4)まで教えていただきたいです

よろしくお願いします

解析

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

(2)
|a[n+1]-a[n]|
＝|{3-(a[n]-1)²}/2-{3-(a[n-1]-1)²}/2|
＝|a[n]+a[n-1]-2||a[n-1]-a[n]|/2
ここで
a[n]+a[n-1]-2≧1+1-2=0
より
|a[n+1]-a[n]|
＝(a[n]+a[n-1]-2)×(1/2)|a[n-1]-a[n]|
≦ (3/2+3/2-2)×(1/2)|a[n-1]-a[n]|
＝(1/2)|a[n-1]-a[n]| ◻︎

(3)
(2)より、各自然数nに対して
|a[n+1]-a[n]|≦(1/2)|a[n]-a[n-1]|
≦ (1/2)²|a[n-1]-a[n-2]|
≦ ⋯
≦ (1/2)ⁿ⁻¹|a[2]-a[1]|
よって、自然数m,n(m>n)に対して
|a[m]-a[n]|
≦ |a[m]-a[m-1]|+|a[m-1]-a[m-2]|+⋯+|a[n+1]-a[n]|
≦ (1/2)^(m-n-1)|a[n+1]-a[n]|+(1/2)^(m-n-2)|a[n+1]-a[n]|+⋯+|a[n+1]-a[n]|
＝{1-(1/2)^(m-n)}/(1-1/2) ×|a[n+1]-a[n]|
≦ {2-(1/2)^(m-n-1)}×(1/2)^(n-1)×|a[2]-a[1]|
＝{(1/2)^(n-1)-(1/2)^(m-2)}|a[2]-a[1]|
よって、m,n→∞とすると、|a[m]-a[n]|→0 であるから{a[n]}はCauchy列 ◻︎

(4)
{a[n]}はCauchy列なので収束する。収束値をαとし、漸化式においてn→∞とすると
α＝{3-(α-1)²}/2
α²＝2
α＝±√2
1≦a[n]≦3/2 より 1≦α≦3/2 だから、α=√2

あいす

ありがとうございます🙇‍♀️

参考にさせて頂きます

gößt

見づらいとは思いますがどうぞー