α<-4,β<-1の場合などもあるので,αβ<4では導けません.以下の3つを満たすkの範囲が答えになります.
(ⅰ)軸が2よりも小さい(k+1<2)
(ⅱ)D≧0(※単に「2解」とある場合は重解も含む)
(ⅲ)x=2のときに0よりも大きい
回答
まず2つの解を持つので判別式D/4=(k+1)^2-k^2>0⇔2k+1>0⇔k>-1/2
2つの解が共に2より小さいので解と係数の関係から
2(k+1)<2+2かつk^2<2^2⇔k<1かつ-2<k<2⇔-2<k<1
すべての共通部分をとると-1/2<k<1.
***
実数解が2つあることは前提条件です. 忘れがちなので注意しよう.
(x-α)(x-β)=x^2-2(k+1)x+k^2なのでα+β=2(k+1), αβ=k^2です. 符号に気をつけよう.
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[訂正] うっかりしていたようです. もちろん解と係数の関係だけでも解けます.
実数解条件k≧-1/2
重解を含む2解をα, βとすると
α-2<0, β-2<0
⇔(α-2)+(β-2)<0かつ(α-2)(β-2)>0 [これで同値なはずです]
⇔α+β<4かつαβ-2(α+β)+4>0
解と係数の関係から
2(k+1)<4かつk^2-2*2(k+1)+4>0
⇔k<1かつk<0, 4<k
すべての共通部分をとって-1/2≦k<0.
***
重解をどう扱うかは定義によると思います[たとえば量子力学での縮重]が, 高校では重解もカウントするんでしたね.
***
2次関数f(x)=x^2-2(k+1)x+k^2を扱うなら
k≧-1/2から
f(0)=k^2>0
軸: x=k+1≧1/2 [中間値の定理から(0,1/2]に解があることが分かる.]
であることがすぐに分かるのでf(2)>0で十分なことが分かります.
解くと4-4(k+1)+k^2>0⇔k(k-4)>0⇔k<0, 4<kなので-1/2≦k<0となります.