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3000-75n が平方数になれば良いと考えます。nは整数で、3000も75も5の倍数なので、3000-75nも5の倍数になります。しかも、これは平方数なので25で割れなければおかしいですね。
同様に3についても同じことが言えるので、9の倍数とも言えます。
25と9の最小公倍数は225なので、3000-75nは225の倍数です。
わかりやすいように、
3000-75n=225p としてみます。
225は既に平方数(15²)なので225pが平方数になる為にはpも平方数である必要があります。
この条件で(pが平方数である、3000よりも小さい)できるだけ大きいpを探すと、
p=9が見つかります。
3000-75n=225×9=2025 (45²)
75n=3000-2025=975
n=13
よって答えは13です。
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ありがとうございます！