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下の図の色のついた三角形はすべて相似です。
△FDG, △GAI, △EHI の辺の比はすべて等しくなります。
△FDGの３辺の長さを求めます。
折り返しているので
FDをｘとすると
FG=FC=9-x
AG:GD=2:1より
GD=3
三平の定理を用いると
GD²+FD²=FG²
3²+x²=(9-x)²
これを解くとｘ=4
よって３つの三角形の辺の比はどれも
3:4:5 になります。
△GAIの３辺の長さを求めます。
AI:GA:GI=3:4:5
GA=6なので
AI=9/2, GI=15/2
△EHIの３辺の長さを求めます。
IH:EH:EI=3:4:5
IH=9-GI=9-(15/2)=3/2
EH=4/2=2
ありがとうございます！
△FDG, △GAI, △EHI の相似の証明は以下の通りです。
△GAI∽△EHIの証明
対頂角なので∠AIG=∠HIE …①
∠GAI=∠EHI=90° …②
①②より２組の角が等しいので
△GAI∽△EHI
△FDG∽△GAIの証明
∠FDG=∠GAI=90° …①
∠AGI+∠FGH+∠DGF=180°
∠FGH=∠C=90°
よって
∠AGI=180°-90°-∠DGF …②
三角形の内角の和は180°なので
∠DFG+∠D+∠DGF=180°
よって
∠DFG=180°-90°-∠DGF …③
②③より
∠AGI=∠DFG …④
①④より２組の角が等しいので
△FDG∽△GAI