とりあえず(2)です。
過去解答を数値だけ変えているので変なところがあるかもしれません。
(xだと×と紛らわしいので便宜上xをaにします。)
工夫せずストレートに展開して答えを出すと
(5a^2-2)^6
= 6C0 × (5a^2)^6 × (-2)^0 ①
+6C1 × (5a^2)^5 × (-2)^1 ②
+6C2 × (5a^2)^4 × (-2)^2 ③
+6C3 × (5a^2)^3 × (-2)^3 ④
+6C4 × (5a^2)^2 × (-2)^4 ⑤
+6C5 × (5a^2)^1 × (-2)^5 ⑥
+6C6 × (5a^2)^0 × (-2)^6 ⑦
となります。
＊
①ではaの2×6=12乗
②ではaの2×5=10乗
③ではaの2×4=8乗
④ではaの2×3=6乗
⑤ではaの2×2=4乗
⑥ではaの2×1=2乗
⑦ではaの2×0=0乗
＊
が出てきます。
したがって、④のときの係数は6C3と(5a)^3からできる5^3と(-2)^3からできる-8をかけた-20000です。
しかし、毎回このように展開していてはもっと数が大きくなると困ります。そこで、工夫します。
要は6つのうちpだけ(5a^2)を選んできて、qだけ(-2)を選んでくることを考えれば
2p=6よりp=3とわかるので、このときだけやればOKです。
(xだと×と紛らわしいので便宜上xをaにします。)
工夫せずストレートに展開して答えを出すと、1/aはaの-1乗なので
(a^2-2a^(-1))^9
= 9C0 × (a^2)^0 × (2a^(-1))^9 ①
+9C1 × (a^2)^1 × (2a^(-1))^8 ②
+9C2 × (a^2)^2 × (2a^(-1))^7 ③
+9C3 × (a^2)^3 × (2a^(-1))^6 ④
...
+9C8 × (a^2)^8 × (2a^(-1))^1 ⑨
+9C9 × (a^2)^9 × (2a^(-1))^0 ⑩
となります。
シグマで表すと
9
Σ 9Cp × (a^2)^p × (2a^(-1))^q (p+q=9)
p=1
＊
①ではaの2×0+(-9)=-9乗
②ではaの2×1+(-8)=-6乗
③ではaの2×2+(-7)=-3乗
④ではaの2×3+(-6)=0乗
⑤ではaの2×4+(-5)=3乗
⑥ではaの2×5+(-4)=6乗
⑦ではaの2×6+(-3)=9乗
⑧ではaの2×7+(-2)=12乗
⑨ではaの2×8+(-1)=15乗
⑩ではaの2×9+(-0)=18乗
＊
が出てきます。
したがって、④のときの係数は9C3と(2a^(-1))^6からできる2^6をかけた5376です。
しかし、毎回このように展開していてはもっと数が大きくなると困ります。そこで、工夫します。
要は9つのうちpだけ(a^2)を選んできて、qだけ(2a^(-1))を選んでくることを考えれば
p+q=9(展開式の次数の和は常に9、①~⑩を見れば明らか)
2p+(-q)=0(＊の計算をやっている)
(定数項→0乗)
の連立方程式がたてられます。
これを解けばp=3,q=6であり、考えないといけないのは④だけであることがわかります。