✨ ベストアンサー ✨
まず、正の約数の個数の公式を知っていないと解けませんね。知らなければ↓を見てください。
https://youtu.be/mr1pP0HPBKI
かけて15になるのは、入れ替えも考えれば
ア. 1×15(15×1)
イ. 3×5(5×3)
しかありえません。
求める数Nを素因数分解するとN=a^n×b^m (n<m)になったとします。
素因数分解なのでaとbは素数で、1<a,1<b,a≠bです。
約数の個数は(n+1)(m+1)となります。
アの場合n+1=1、m+1=15となるため、n=0となります。a^0=1なので結局b^14となります。
b=2以上のとき2^14以上となりますが、500を越えます。
よってアの場合の答えはありません。
イの場合、n+1=3,m+1=5となるため
a^2 × b^4となります。
[a=2のとき]
bはa≠bより2ではありません。3以上の素数であることに注意して順に数えます。
b=3なら2^2×3^4=324です。
b=4なら2^2×4^4で500を越えます。
次にa=3の場合です。
b=2ならN=3^2×2^4=144です。
a≠bよりb=3はありえません。
b=4だとbが素数になりません。
b=5以上だとN=3^2×5^4以上で500を越えます。
次にa=4の場合といきたいところですが、aは素数なので次はa=5です。
b=2のときN=5^2×2^4=400です。
b=3以上のときN=5^2×3^4以上で500を越えます。
a=6は素数ではないのでとばして
a=7のとき7^2×2^4の時点で越えます。これは500÷16=31...4で、a^2=49なので当たり前です。これはaがこれ以上増えてもa^2は31を越え続けるので同じことです。
よって、上の3つが答えです。
ご丁寧にどうも。