Question

ゲスト

マクローリンの定理で剰余項の1/(n+1)・f^(n+1)(θx)x^+1って覚えておけばいいのでしょうか？またn+1になる時とn+2になる時の違いは何でしょうか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

1/(n+1) じゃなくて 1/(n+1)! ですね
覚えちゃっていいと思います

「n次」のマクローリン展開を求めよ、と言われたら剰余項がn+1次になるように求めればよいです。そういう意味の質問でなかったら追加で聞いてください

ゲスト

f(x)＝e^xのマクローリン展開の時は剰余項がRn+1
f(x)＝sinxのマクローリン展開の時は剰余項がRn+2
なんですけど、sinの場合は展開した結果のxの次数がn+2乗だからですか？

gößt

通常はe^xと同じくR_(n+1)が多いです

sinxにマクローリンの定理を適用すると、偶数次の項は全て0になって消えてしまいます。そんなわけで多項式展開した部分の最後はたいてい奇数次である2n-1次の項か2n+1次の項で書かれます。となると、剰余項はR_(2n)かR_(2n+2)になりますね

ゲスト

n+1とか2n+2とかを決めるのは次数ってことですか？

gößt

うーん、別に決まっているわけではなく、単にR_(n+1)だったりR_(2n+2)だったりにすることが多いってくらいです

普通はe^xのようにn次で止めて剰余項はn+1次にするのが自然だと思います。でもsinxはn次の項より2n+1次の項の方が簡潔に表せますから、2n+1次で止めて剰余項は2n+2次にするか2n-1次で止めて剰余項は2n次にするのが自然だと思います。結局そうするのが自然だからということです

ゲスト

例えばf(x)＝e^xを展開したら
1+x+1/2!(x)^n+･･･1/n!(x)^n+･･･となります。
最後のxの次数がnだから剰余項はR(n+1)ってことではないですか？
例えばsinは奇数乗部分がのこって(2n-1)だったらR(2n)みたいな

gößt

そういうことですね

ゲスト

やっとわかった気がします！ありがとうございました！

gößt

それはよかったです(｀・ω・´)