Question

ゲスト

この(2)を教えてください

Il(み万の回全介
邊(の員昌

とお

  
    
 

とする。 と に対し、 g(Z,の al

 
  

 距離であることを示せ。

の任意の元とするとき、1合からなる集合 {g} は (X,9) の開集合であるに
を示せ。

の任意の部分集合は (Y.の の開集合であることを示せ.

開集合 距離空間

Answer 1

あ

距離空間における開集合Oの定義は
任意のx∈Oに対して、あるε>0が存在して、x中心の半径εの開球B(x,ε)={y | d(x,y)<ε}がOにすっぽりと含まれる、つまり、B(x,ε)⊂Oが成り立つということです。
今回O={a}です。よって、Oからとれる元はaしかないのでa中心の開球がOの部分集合となるようにεをとります。ε=1/2とします。するとd(a,y)<εとなるようなyはaしかないので、B(a,ε)={a}です。なのでB(a,ε)⊂Oが成り立ちます。