Question

マティー

自然数nに対して、I=[0,π] 上の関数fnをfn(x)=max{cos^n(x),sin^n(x)} と定める。このとき、∫ [0→π] fn(x) が最大となるのはnが何のときでしょう？

n=2というのは直感的に分かりましたが、その理由の証明みたいなのは分かりません。教えて下さい！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

簡単なお話ですよ。
三角関数はn乗しても周期は変わらないので、nの偶奇分けて考えたときに、サインとコサインの大小の入れ替わるxは不変ですよね。
そして、三角関数は絶対値が１以下なんでn乗するとnが大きくなればなるほど値は小さくなっていきます。
だから、絶対に奇数ならn=1,偶数ならn=2が最大になります。
後はこの二つを比べるだけ、グラフ書けばn=2の時が大きくなるのわかるけど、実際に計算したら終わりですね。

マティー

なるほど！言われてみれば単純ですね！
ありがとうございました！

哲治

僕、こういう解析系は大好物なんで。笑
集合位相論はまだまだ苦手です。(;ﾟロﾟ)
マティーさんのいつも面白い問題だから楽しみなんです。笑

マティー

僕も習ってて楽しいなって思います！
これからも沢山質問させていただきますね。笑

マティー

早速ですが、質問よろしいでしょうか？

f(x)は有界閉区間 I=[a,b] においてリーマン積分可能な関数とするとき、f(x)が I 上で連続ならば、F(x)=∫ [x→b] f(t)dt が I で定義された微分可能な関数であることを証明してください！

哲司さんにとっては恐らく簡単でしょうけど、僕はまだリーマン積分がきちんと理解できてなくて…
あと少しで分かりそうで分からないんです。

教えてくれたら嬉しいです！

哲治

簡単ですね。
リーマン積分というより微分積分学の基本定理のお話ですね。 積分したものが微分できるかみたいな。
回答は夜遅くでお願いします。

マティー

ありがとうございます。

哲治

こんな感じですね。

マティー

ありがとうございます！なんとなく理解できました。思ってたより複雑でした。笑