Question

☺︎

和と積の公式なのですが、この疑問について教えて頂けると嬉しいです。

1

 (2<ィ5 ー Tn( 2 5リプと

er t 5200 2をすん

較あ2ァ+

iC@z - snu(還2z28Z

ソリ

枯、

    ) sjn 5tmB
全A2T |
の1b    4-P
い     〆
のみて[
NW
A人た
(  *
ルハ
SN

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

積和公式の覚え方としては工夫しているなと感心しましたが, 残念ながら式自体が間違っています.
この公式は加法定理から導かれたことを思い出しましょう.
sin(α+β)+sin(α-β)={sinαcosβ+cosαsinβ}+{sinαcos(-β)+cosαsin(-β)}=2sinαcosβ
が正しいです.　左辺はどちらもsinの関数なのでα+βとα-βを入れ替えても問題ありません. 一方, 右辺のαとβは入れ替えられません.
***
∫cos(3x)sin(5x)dx [上の公式との対応が悪いので, 脳内で順番を入れ替えて考える]
=(1/2)∫{sin(5x+3x)+sin(5x-3x)}dx [中括弧がないと, 刻みのdxが前の関数にないので積分を意味しません]
=-(1/16)cos(8x)-(1/4)cos(2x)+C. ただしCは積分定数.

☺︎

ありがとうございます！教えて頂いたこの黄色の線のところなのですが、sin(5x+3x)-sin(5x-3x)ではなくて、sin(5x+3x)＋sin(5x+3x)なのは、5xと3xの順を逆にした？からですか？
分かりづらくてすみません、、

LUX SIT

少し噛み砕きます.
積和公式 sinαcosβ=(1/2){sin(α+β)+sin(α-β)}
とcos(3x)sin(5x)=sin(5x)cos(3x)　[このように順番を入れ替えると見やすい. 逆に見えるのはこの部分が原因]
との対応を考えるわけですが, α=5x, β=3xとすれば上手くいきます. したがって上のように計算したわけです.
***
[注]
αとβは入れ替えてみると
sinβcosα=(1/2){sin(β+α)+sin(β-α)}=(1/2){sin(α+β)-sin(α-β)}です.
これは明らかにsinαcosβと等しくありません[例外はsin(α-β)=0のとき].

☺︎

ありがとうございます！納得しました！他の二つの質問も、丁寧に解説して頂いたので、理解できました！😊