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パターンが重複しないように、まず一つの面の数字を一つ定めます。このときの対面の数字は5通りあり、側面は円順列となるので、4!/4=6通りです。ゆえに、5×6=30
これでどうでしょうか？
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最初に数字を一つ定めているので、(6-1)通りということになります。例えば、最初に一つの面を「1」と定めると、あと書ける数字は2,3,4,5,6の5つになる、ということです。