例題4
右図の1辺12の立方体で,辺 AD, CD の中点をそれぞれ
MNとする。
3点M,N,F を通る平面でこの立体を切断する。
(1) 切断面の面積を求めなさい。
(2) 切断してできる立体のうち, 点Bを含むほうの体積を求
めなさい。
[解法]
(1) 切断面の切り口は神技 86 (P.173) で五角形となる。
図で,△DNM ≡△CNL だから, CL = 6 (=AK)
また, ALCJ S △FGJ だから,
CJ : GJ = CL:GF = 6:12
=1:2
よって, CJ = 4 (=AI), JG=8 (=IE)
ここで, ABFLで三平方の定理より
FL=√BL2 + BF2 = √182 +122=6√13=FK
KL = √BL2 + BK2 = √182 + 182 = 18√2
また、右の下図で、OL=18√2+2=9√2 だから,
OF = √FL² - OL² = √(6√/13)² – (9√2)² = 3√/34
ところで, KI: KF = KM : KL=:3 だから,
△KIM : △KFL=1':3'=1:9,
AKIM = ALJN = 1/AKFL
(2) 求める立体の体積は ,
(三角すいF-KBL) - (三角すいI-KAM)+(三色
ここで(三角すいKO
B
F
=
B
K
ここで求める五角形の面積は、
△KFL - (△KIM+ △LJN)= AKFL-13 AKFL×2=1403AKFL
6√13
12
M
E
E
12.
A
........
M
-18√2
3√34
K
F
113
=1/2XL XOFX1/28-01/3×182×3√54×1/23
KL
7
9
= 42√/17
0
M
2
M
6,13
解答 4217
