-
![]()
-
![]()
(5) 次は、先生とAさんの会話です。 これを読んで、 下の① ② に答えなさい。
先生「右の図1のような. OC20A の長方形OABCがあります。 点A
はx軸上に点Cは軸上にあります。 直角三角形OACの周上お
よび内部にある格子点 (x座標、y座標がともに整数である点)を黒
い点(●)で表し、長方形OABCの周上および内部にある格子点の
うち,直角三角形OACの外部にある点を白い点(○)で表します。
黒い点の個数と白い点の個数を考えてみましょう。 座標軸の単位の
長さを1cmとすると、 次の図2~図4は、 それぞれ, OAの長さが
1cm.2cm,3cmのときの格子点をかき入れたものです。」
Y
C
B
O A
エ
Aさん 「黒い点の個数は([
先生 「正解です。」
① 表のア
C
イ.
B
1
0 A
C
3/
0
図2
図3
Aさん 「OAの長さが1cm, 2cm,3cmのときの
黒い点の個数 白い点の個数, 黒い点の個数
と白い点の個数の和, 黒い点の個数と白い点
の個数の差 (黒い点の個数 白い点の個数) を
右の表にまとめてみました。」
先生｢よくできていますね。」
Aさん 「OAの長さが長くなると, 数えるのがたいへんそうです｡」
先生｢そうですね。 では, 黒い点の個数と白い点の個数を, 工夫して求める方法を考えましょ
う。 OA = ncm (n は正の整数)のとき, 長方形OABCの横の1辺と縦の1辺には, そ
れぞれ格子点が何個ありますか。」
Aさん 「横の1辺には格子点が (n+1) 個あり, 縦の1辺には格子点が (2n+1) 個あります。」
先生「そのとおりです。 これで、黒い点の個数と白い点の個数の和を n を使って表すことが
できますね。 黒い点の個数と白い点の個数の差はどのように考えればよいでしょうか。｣
Aさん 「直角三角形OACの斜辺上にある格子点の個数が、黒い点の個数と白い点の個数の差に
なっています。」
先生｢そうですね。 黒い点の個数と白い点の個数の和と, 黒い点の個数と白い点の個数の差を
利用することで, OA=ncmのときの黒い点の個数と白い点の個数をそれぞれ,
n を使って表すことができます。 やってみましょう｡」
A
図 4
オ
した形(因数分解しない形)で書きなさい。 (5点)
OAの長さ(cm)
黒い点の個数(個)
白い点の個数(個)
黒い点の個数と
白い点の個数の和 (個)
黒い点の個数と
白い点の個数の差(個)
7
1
4
2
6
2
0
ウにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。 (4点)
A
図1
+
2
9
6
15
3
3
ア
I 1 個, 白い点の個数は ( オ ]) 個と表せます。」
イ
28
] にあてはまる式を. それぞれ,n を使った最も簡単な形で,展開
