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13 X. Yの2人が次の問題の解き方を相談しながら考え
ている｡
n番目に 4n-5 が書かれている数の列Aと, 7番目に
n2-2n-1 が書かれている数の列Bがある。 ただし,
nは自然数とする。
A,B を書き並べると,
A: -1, 3,7, 11, 15,
B: -2, -1,2,7, 14,
A. Bに現れる数字を小さい順に並べた数の列をCとす
るとき, 2023はCの中で何番目に現れるか。
X : 途中過程を書きやすいように, A. Bの番目の数を
それぞれ an, b, と表すことにしよう。
Y : 例えばAの3番目の数は a3 で, 計算は4n-5に
n=3 を代入した7になるから,a3=7と書けばいい
んだね。 同じようにBの10番目の数を求めると,
b10=アとなるね。
X : では, A,Bの規則性を見てみよう。 Aは
an=4n-5 だから最初の -1 から4ずつ増えていく
ことと,奇数しか現れないことがわかるけど, B はど
うだろうか。
Y:bm=n²-2-1 だけど規則が読み取りにくいね。 規
則を見つけるために隣り合う数の差をとってみようか｡
(n+1) 番目の数からn番目の数を引いてみよう。
X: b = n2-2n-1 だから
bn+1-bn={(n+1)2-2(n+1)-1}-(n2-2n-1)
=2n-1
となるね。
Y : ということは, 隣り合う数の差が必ず奇数だからBは
偶数から始まって偶数と奇数が交互に現れるね。 だけ
ど,これだけではまだ特徴がわからないな。
X : そうしたら次はもう1つ離れた数との差をとってみよ
うよ。 (n+2) 番目の数からn番目の数を引いてみよう｡
Y: bn+2 -b を計算するとイ となるね。
X : わかった。 これと今までわかっている特徴を合わせる
と問題が解けるね。
(1)
ア
イにあてはまる式や値を答えよ。
(2) Bの数の列において, 2023が何番目か求めよ。
(3) Cの数の列において, 2023が何番目か求めよ。
問題↓解説↑
3 (1)(イ) bn+2=(n+2)-2(n+2)-1
=n2+2n-1より,
bn+2-6m=n2+2n-1- (n2-2n - 1) = 4n
(2) n2-2n-1=2023
(n+44)(n-46) = 0
n>0より, n = 46
(3)4n5= 2023
n= ¥507 より,
Aの列において, 2023は507番目の数である。
Cの数の列において 2023までの数の個数は, A の数の
列における 2023 までの数の個数と、Bの数の列における
2023 までの数の個数の和からAの数の列とBの数の列に
共通する2023 を含めた数の個数を引けばよい。 A の数の
列とBの数の列に共通する数の列Dを書き並べると,
D: -1, 7,23,47,
......
DはBの偶数番目の数が並んでいるから, n番目の数を
dn とすると,
dn=bzn=(2n)2-2 × 2n-1=4n²-4n-1
4n²-4n-1=2023
n2-n-506 = 0
>0より, n=23
(n+22) (n-23) = 0
よって, Cの数の列において, 2023 は,
|507 +46-23530 ( 番目)
