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51 領垣
実数x, y, 3.x+y≧6, 2x-y≦4, x+2y≦7 を同時にみた
すとき,次の問いに答えよ.
(1) 3.x-yのとりうる値の最大値、最小値を求めよ.
(2)x2+y^ のとりうる値の最大値、最小値を求めよ.
精講
領域D内を点(x, y) が動くとき, x+yのとりうる値はどのよう
考えればよいのでしょうか。
たとえば, (x,y)= (1,1) としたときの x+yは2ですが、
29
〈図II〉より,y=3x-k がB(3,2)を通るときは最小で、
C(1,3)を通るとき,kは最大
すなわち, B(3,2)を通るときは 最大値 7 をとり
C(1,3) を通るときは最小値 0 をとる.
(2) (0) とおくと,これは原点中
心, 半径の円を表し、この図形が <図1> の色
の部分と共有点をもちながら動くときのの
とりうる値の範囲を考えればよい。
y\
<図III>
3
2
B
(i) 最大値
0
円がBを通るとき, r2は最大で、最大値は
22 13
1
A
3
(i) 最小値
y=3x56
円が直線 CA, すなわち, 3x+y-6=0 と接するときを考える。
だから
とおいて、この直線がDと共有点を
このとき、接点は、直線CA13の交点で (11)
もちながら動くときの切片kのとりうる値の範囲を考え
ればよいのです.
2
D
(1,1))
最小値は(1)+(3)-13
32 18
この点は線分 CA 上にあるので、この点がの最小値を与え,
y-32+6
「2」はどこに現れているかというと, x+y=2 だから、直線の切片
現れています。 (右図参照)
(右図で, x+y=k はDと共有点をもっています)
たとえば,右図では点 (1,1) だけではなく, x+y=k
0
上の太線部分の点をすべて代入したことになっているのです.
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注2+y^ は, (0, 0) と(x,y) との距離の平方と考えることもできます.
ポイント
不等式が表す領域内の点(x, y) に対して, x, yの関
解答
3x+y≥6
連立不等式 2-y≦4 の表す領域は
ブラスだす。
<図1>
3
〈図I〉の色の部分 (境界も含む).
x+2y≤7
2
数 f(x, y) の最大値、最小値は
Ⅰ. f(x,y)=kとおき
Ⅱ.kが図形的に何を意味するかを考えて
Ⅲ. f(x,y)=k が領域と共有点をもつように動かし、
k の最大、最小を考える
(1) とおくと
くと,領域がかきやすくなります。
注 境界になる3つの直線の交点を先に求めてお
12
3
O
1
A
演習問題 51
<図Ⅱ>
x,yが4つの不等式
x0,y≧0, 2x+3y≦12, 2x+y≦8
