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直
-6
128 2次方程式の解と数の大小 (1)
2000000
2次方程式x2-2(a+1)x+3a=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を
もつような定数aの値の範囲を求めよ。
[ [類 東北大]
・基本 126, 127 重要 130
基本
・例題
2次方程式f(x)=0の解と数の大小については, y=f(x)のグラフとx軸の共有点の
指針
位置関係を考えることで、基本例題 126,127で学習した方法が使える。
すなわち, f(x)=x2-2(a+1)x+3aとして
解答
2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ
⇔ 放物線y=f(x)がx軸の-1≦x≦3の部分と異なる2点で交わる
したがってD>0, -1< (軸の位置)<3f(-1)≧0f (3) ≧0で解決。
CHART 2次方程式の解と数々の大小
この方程式の判別式をDとし, f(x)=x²-2(a+1)x+3a
とする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、その軸は
直線x=a+1である。
SU ELAS
方程式f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数 指針
解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の
-1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わることである。
すなわち,次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。
[1] D>0
[21 軸が
13] f(-1)≥0 [4] f(3) ≥0)
34 [1]
[1] 21={-(a+1)^-1・3a=a²-a+1=(a-1/2)+1/1
D
D, 軸, f(k) に着目
グラフ利用
4
よって, D>0は常に成り立つ。
[2] 軸x=a+1について
すなわち
-2<a<2
[3] f(-1)≧0から (−1²−2(a+.1)・(-1)+3a≧0
3
ゆえに 5a+3≧0 すなわちa≧-
[4] f(3) 20 から 32−2(a+1)・3+3a≧0
ゆえに
-3a+3≧0
すなわち a≦1
①,②,③の共通範囲を求めて
3
......
4
(*) (+) ³1-
+res
@TOMB (2.
-2
3
5
1
2
2
a
2次方程式についての問
題を, 2次関数のグラフ
におき換えて考える。
この問題では, D の符号,
軸の位置だけでなく,区
間の両端の値f(-1),
f (3) の符号についての
条件も必要となる。
|-1<(軸) <3
YA
+
|-1
★の方針。
≦a≦1
5
注意 [1]の(*)のように,αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。
ONa+1
+
3 x
③ 128 ような定数αの値の範囲を求めよ。
練習 2次方程式2x2-ax+a-1=0が-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつ
211
3章
1 2次不等式
13
x=
6
-31
te
6) a
