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である。
こなる。
無値をもつよ
囲を求めて
例題 207
=2は、関数
の和が2であ
重要 例題 209 3 次関数の極大値と極小値の差
| 関数f(x)=x-6x+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき, 定数αの
値を求めよ。
|指針>前ページの例題と同じ方針で進める。 x=α で極大値, x=βで極小値をとるとすると
極大値と極小値の差が 4 ⇔f(α)-f(B)=4
f(a), f(3) を実際に求めるのは面倒なので, f(a) -f (B) を α-B, a+β,αB で表し,
更に (α-B)'=(a+B)-4cβ を利用することで,α+ß,αβ のみで表すことができる。
TERO (A0+xa-x
Raythiel
答
f'(x)=3x²-12x+3a
数
のときに大竹をよ
f(x) は極大値と極小値をとるから, 2次方程式f'(x)=0 すな
わち3x²-12x+3a = 0
① は異なる2つの実数解 α, β
(α<β) をもつ。 よって, ① の判別式をDとすると D>0
D
KETE
2=(
=(-6)-3-(3a)=9(4-α)であるから 4-a>0
0090
=(a−ß){(a²+aß+ß²)−6(a+ß)+3a}
136
[38\ a. =(a-β){(a+β)2-aß-6(a+β)+3a}
α+B=4, aβ=a
① で, 解と係数の関係より
よって
(a-β)²=(a+β)²-4aß=4²-4・a=4(4-α)
x
a
B
したがって a<4
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) の x の係数が正であるから, f(x) は x=αで極大,x=B f(x) 極大 極小 >
で極小となる。
CƏSÁŽNE
<3JR$ 0=> [s]
f(a)-f(B)=(α3-β3)-6(α²-B2)+3a(α-β)3次関数が極値をもつとき
極大値> 極小値
α<Bより,α-β<0であるから
ゆえに
a-B=-2√4-a
f(a)-f(B)=-2√4-a (4-a-6・4+3a)
X=1 (30))=-2√/4-a{-2(4-a)}
HOCSON = 4( √4-a)³
f(a)−f(B)=4であるから
すなわち
(√4-a)³=1
ゆえに, 4-α=1から
4(√4-a)³=4
よって
a=3
√4-a=1
これは②を満たす。
今回は差を考えるので,
α<βと定める。
基本208
② から 4-a>
よって √4-a>0
◄4-a=(√√4-a)²
検討
f(α) -f (B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。
f(a)-f(3) = f(x)dx=3(x-a)(x-3)dx=3[ - = (a-B)"}
これにα-β=2√4-α を代入して, f(a) -f (B)=4(√4-α) となる。
.
<√4-α=1 の両辺を2乗し
て解く。
-p.352 基本例題 230 (1)
の公式を利用。
=で極大値, x=βで極小値をとるとき,
3.
E
3
