1 約数と倍数
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例題 241
bを自然数とするとき, 次の命題を示せ、夢ませ
1) aともが互いに素であるとき, a+bとbも互いに素である.
(2) a+bとbが互いに素であるとき, aともも互いに素である。
互いに素な自然数の性質(1)
8)
方「2つの自然数 m, nが互いに素である」 とは,「m, nの最大公約数が1」 ということ
である。すなわち,(1)では, a+bともの最大公約数が1であることを示せばよい。
「警答(1) a+6とあの最大公約数をGとすると、
(Gは自然数
30
a+b=mG· ① かつ, b=nG … ②
とおける。ただし, m, nは互いに素な自然数とする。
ここで,2をDに代入すると, a+nG=mG より,
a=(m-n)G
m-nは自然数であるから, Gはqの約数である.1, である」の
また,2より,Gはbの約数でもある。
すなわち,Gはaとbの公約数である。 お c え
. doでも
いにでな
aとbの正の公約数は
1のみ)
d aとbは互いに素であるから,
G=1
よって,最大公約数が1より, a+bとbは互いに
素である。
+m
