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例題100 はさみうちの原理 (3)
次の極限値を求めよ。
2n
1
{n ², (2k-1)(2k +1)
J
k=n
(1) lim nΣ.
考え方 (1)
解答
1/ 1
1
(2k-1)(2k +1) 22k-1 2k+1/
22=
1
-1/21zn
4.0 2 2n-1
よって,
2n
2n
(1) 2 x (2k-1)(2k +1) = 2,² (2k-12k+1)==
k=n
k=n
= 2²-|(27²-1
=
よって,
(2) k≥1 0²³, 0<-¹-(4k²-1)<k²<k²+k C$3h³>5,
R²+k<²<4k²_1 *", k(k+1)<²< (2k-1)(2k+1) が導かれる.
11
1_ [ + [×]> 4
ここで,
1
4n+1,
lim n
n→∞0
- lim
2 n00
(2) lim (nΣ
n (₂2
2n
2n+1)+(2n+1=2n+3)+...+(₁²-1-an²+1)}
2n
n Σ
k=n (2k-1)(2k+1)
2
n18
1
n
12100
4+
1
2n 1
n
(2)≧1より、0<-(4k²-1)<h² <k+k
k=nk²
と部分分数に分解する.
n
n- 2
=lim
<
-1/2 (12-1) = 1/2
22
1
2n-11
2n-1
+1 70²5
が成り立つから,
4
<< </²-12"). k(k+1)< < (2k−1)(2k+1)
つまり,
k²+k
4k²-1'
k²
2n 1
1
2n
k=nk(k+1)
k=nk2
k=n (2k-1)(2k+1)
2n
2n
lim n
{nak (k+1)} =lim {n 2 (2 - x+1)} D
n18
n-00
k=n
k k-
1
n
{(= n+₁) + (n+₁_n+ ₂) +...
+….....+
=lim n 2n+1)-1-1/2=1/12/0
n18
n
2n
2n
*tc, n², (2k-1)}(2k+1) = 4• n 2₁ (2k-1)(2k+1)
k=n
k=n
***
(東京理科大)
2n
4
1
8
(1)の結果を用いると, lim {n 2 (2k-1)(2k + 1)} = 4 ·
n→∞
1
4n+1)
8
+(2n-2n²+1)}
9₁
1
2
-
1
2n
(n
よって, ①,②,③とはさみうちの原理より. him (22)=1/1/2
k=n k²
818
3
