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考え方
練習
348
例題 348 オイラー線
△ABCの外接円の中心を0とし、頂点A,B,Cの点Oを基点とする
位置ベクトルを,それぞれ a, , こ とする. 位置ベクトル
h =a+b+c で表される点をH, △ABCの重心をGとするとき,次の
問いに答えよ.
$JCA
(1) 3点 0, G, H は一直線上にあることを示せ .
(2) 点Hは△ABC の垂心であることを示せ .
SONS
(1) 3点O,G,Hが一直線上にある OH =kOG の形で表せる
(2)点Hは△ABCの垂心
Focus
また、点は外接円の中心だから |==||
3.685206(OA+OB+OC)-OGR
FOR
=3OG-OG=20G
AHBC, BHICA
つまり, AH･BC=0, BH・CA=0
つまりよって,3点0,G,Hは一直線上にある.
(別解) GH = AH-AG=OB+OC- (OG-OA)
の大温kg
ADCƏ
(1) OH=a+b+c, OG=1/(1+6+2) より, OH=3OGOH=kOG の形で
3
よって、3点0, G, Hは一直線上にある .
ができる
(2) 点Oは△ABCの外心だから, |a|=|8|=|||
AH・BC=(OB+OC) ・(OC-OB)
=(c+b). (c−b)
>5508
よって,
BH CA=(OA+OČ) (OA-OC)B
^¹ =(a+c)·(a−ĉ)¯AS
12-10
AH•BC=0\
0803
H
= 0 を利用
(内積)
5
3 ベクトルと図形 61
**
A
O
G
線分が垂直
注 三角形の外心O, 重心G,垂心Hは一直線上にあり,
OG: GH = 1:2
である. (直線OGH をオイラー線という.)
M
C
OG: GH=1:2
AH-OH-OA,
OH = OA+OB+OC
より
08055-3-57 (0)
0200315
20
AH=OB+OC
OĞ=(a+b+c)
=lap²-1c²²=005 (SCE
BH･CA = 0
よって,
以上より, AH⊥BC, BHICA だから,点Hは△ABC A = 0, BH ±0 とし
ても一般性を失わない.
の垂心である.
BH=OH-OB
OH = OA+OB+OC
より,
BH = OA+OC
rernzelni.
の方面
例題 348 において, 点Cを通り外接円の直径となるようなもう一方の円周上
の点をEとするとき,四角形 AEBH は平行四辺形となることを示せ.
→p. 63028
