このようにして考えたんですが，答えが違って，どこが違うか教えて欲しいです，どのように訂正したらいいかも教えてもらえると，助かります

y=2sin'xx,y=cos2x (0≦x≦)で囲 129 2つの曲線 まれた図形の面積を求めよ.

この式になるのはどうしてですか

432 基本 例題 105 を含む式が自然数となる条件 10 (1) 600が自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 00000 がともに自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 (2) 40 81 A.426 基本事項 21 CHART THINKING の式が自然数となる条件 素因数分解からスタート (1) (カの式)が自然数(カの式) が平方数(ある自然数の2乗) ← 素因数分解したとき、各指数がすべて偶数。 600 を素因数分解した結果をもとに, nがどんな形に素因数分解されるとよいかを考えよう。 (2) 分数の値が自然数 分子が分母の倍数 分母の40, 81 を素因数分解して, nの素因数を見極めよう。 解答 (1)600mが自然数になるには,600 がある自然 数の2乗になればよい。 600 を素因数分解すると 600-23-3.52 600 に 2-3 を掛けると よって、 求める自然数nは 2・3・52=(22・3・5)2 n=2.3=6 2600 (1) 2･3･5 を変形すると 2)300 2)150 3) 75 5)25 5 22.5×2.3 よって、(自然数の形の 最小の自然数にするため には、2・3を掛ければよ い。 本例 (1) 63 (2) 自 素因 素因 GHAI 自然 個数 総和 (2) 解 (1) (2 よ ま (2)40=23.5,81=3 であるから, 求める自然数nは2,3, 5 を素因数にもつ。 最小のnを求めるから, a, b, cを自然数として n=2.3.5° とおいてよい。 ²は2.5の倍数は 3 の倍数。 n2 224.326.52c が自然数となるための条件は 40 23.5 2a≥3, 2c≥1 ① n3 23.336.53c 81 34 が自然数となるための条件は ② 364 ① ② を満たす最小の自然数 α, b,cは a=2,b=2,c=1 よって、 求める自然数nは n=22・32・5'=180 PRACTICE 105 (1)√378 が自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 (2ª.36.5)2 =224.326.52c 約分して分母が1にな 10 01 3 n n² (2) 512' 675 がともに自然数となるような最小の自然数nを求めよ。

数3微分 （１）を考えるときの思考のプロセスがわかりません。なにから考えていくのか教えてください

B 4 問 33 三角関数の最大・最小 (2) AB=1, BC=2,CD=3, DA=4 の四角形ABCD をKとする. Kは 条件 (*) ∠A, ∠B, ∠C, ∠D はいずれも0との間にある を満たしている. ∠B=x, <D = y, K の面積をS, α を cosa= 2 3 << で定まる実数とする. (1)x+yのとり得る値の範囲を求めよ. dy (2) Mxyで表せ. dx (3) Sが最大となるのは,Kが円に内接するときであることを示せ. ~ 20/200 (滋賀医科大, 旭川医科大、 法政大 ここで最大 (1) AB+AD=CB+CD=5 より, 解法のプロセス ○精講 xは0<x<πの範囲を動き得る ので,xに応じてyがどう動くか調べるのがよい でしょう. (2) 対角線ACでKを分割し て余弦定理を用いる 陰関数の微分法 (標問30) を使 う (2)との関係を知るには, ACB と △ACD に余弦定理を適用します。 (3)Kが円に内接することは,x+y=πが成 り立つことと同値です. <解答 引き,直線 ーる. OP+00 (1) AB+AD=CB+CD=5 と条件(*)より, rは 0<x<л B 2 C ■のとする。 の範囲を動き得る. (青山学院大) =0, sin0) このとき, ACはの増加関数で,y は AC の 増加関数であるから, yはxの増加関数. したがって, yはxの連続な増加関数である. ......① I B C この曲 で直進する x0 のとき,y → 0 →πのとき, AC3 となるので,Kは AD を底辺とする二等辺三角形に近づく. よって ■値を求め y-a ゆえに,rtyのとり得る値の範囲は 3 第2章 Y

数3微分 （１）の線を引いているところの面積はどのように考えて求めているのですか？

図において, OA, OB は半径1の円の互いに垂直な 2つの半径, PQ は BO に平行で, 四角形 PQQ'P' は 正方形である。 図の斜線部分の面積をSとするとき, 次の問いに答えよ. B P Q AQ (1) <POQ-6 (0<0<) とおいて,Sを0で表せ (2) Sが最大となるときのPQの長さを求めよ. (岡山大 ) → 精講 (2) (1)のまとめ方にもよりますが 解法のプロセス dS_1 ・cos 20+ sin20- dS do を計算 do 2 2 ↓ を導いたら 合成 (i) 前間のように 1/12 cos20+sin20 を合成す tan 0 が現れるように因数分解 るか,または (i) 角公式を使って 123cOS20-12/2 0-112=-sing cos わからない角は適当において増 減を調べる と変形してS'(0) を因数分解します。 (ii) の場合, tan0 が現れるように dS =sin cos 0(2-tan 0) de とすれば符号の変化が調べやすくなります。 ただし, tan02 を満たす角はわからないの で 0 =α などとおくことになります。 解答では, (ii) の方法を選択することにします. 解答> (1)S=(三角形OQP) + (正方形 QQ'PP) (扇形OAP) 2 = 1 sinocoso+sino-120 = 2 sin20+sin20- 4 dS 1 cos20+2sincoso- de 2 2 2 -1/12 (1-2sin'9) +2sin@coso- =

組み合わせを作る時に〇と|で考えるやり方を教えて頂きたいです。 またどのような場合にこのように〇と|で考えるのでしょうか

304 基本 例題 30 整数解の組の個数 (重複組合せの利用) (1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。 (2) x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。 CHART & THINKING 整数解の組の個数 ○と仕切りの活用 p.294 基本事項 3.基本29 (1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, zの異なる3個の文字から 重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。 すなわち 7個の〇と2個の仕切りの 順列を考え、仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から順に x,y,zとする。 〇〇〇一〇〇一〇〇には 一〇〇一〇〇〇〇〇には 例えば がそれぞれ対応する。 (x,y,z)=(3,2,2) (x, y, z)=(0,25) (2)x,y,zが正の整数であることに注意。(1)の考え方では0となる場合も含むから x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおき, 0 であってもよい X≧0, 0, Z≧0 の整数解の場合 ((1) と同じ) に帰着させ る。これは, 10 個の○のうち, まず1個ずつを x, y, zに割り振ってから,残った7個の ○と2個の仕切りを並べることと同じである。 また,別解のように,10個の○と2個の仕切り | を使う方法でも考えてみよう。 解答 (1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列 に並べる順列の総数と同じであるから 9C7=9C2=36 (1) (2) x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと X = 0, Y ≧ 0,Z≧0 このとき, x+y+z=10 から 別解 求める整数解の組の 個数は、3種類の文字 zから重複を許して7個取 る組合せの総数に等しいか ら 3H7=3+7-1C7=9C7 要 例題 31 次の条件を満 (1) 0<a<b CHART & 大小関係が条 (1)条件を満た ら4個の数字 (2) (1) とは違 (2, 2, 2, 2 それらの数 重複組合せの A=a, B= (a, b, c, (A, B, C するから, (1) 1, 2, 小さい順 まる。 (2)0,1, =9C2=36(個) い順に よって (X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10 ←x=X+1, y=Y+1, よって X+Y+Z=7, X≧ 0, Y ≧ 0, Z≧0 求める正の整数解の組の個数は、 A を満たす0以上の整数 解 X, Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より 36個 解 10個の○を並べる。 z=Z+1 を代入。 【別解 A このとき,○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを 入れ A|B|C 例えば としたときの, A, B, Cの部分にある○の数をそれぞれx, y, z とすると,解が1つ決まるから 9C2=36 (1) PRACTICE 30° 00100000 は 1000 (x,y,z)=(253) を表す。 (1)x+y+z=9を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。 (2)x+y+z=7 を満たす正の整数解の組(x,y,z)は何個あるか。 条件 0 である よって 選べ した PRAC 次の (1) (

数列の問題です （2）のマーカーのところの変化が分かりません

79 (重要) 40 次の条件によって定められる数列 頁を求め (2) では 408 重要 例題 40 f(n) an=bn とおく漸化式 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 (1)=1, an+1 an (2) a1=2, na,+1=(n+1)an+1 n n+1 ●基本 21,29 CHART & THINKING an+1,αの係数がnの式の問題では, an+1, an の係数がそれぞれ f(n+1), f(n) となる ように式変形をする。 (1) 与えられた漸化式は, an の係数が 1 + の係数が 1 n+1' n となっている。両辺に n(n+1) を掛けることで an+1 22 an n+1 (n+1)an+1=nan STEP a₁ = について,この px2+x+r= 隣接3項間の an と変形できる。 この変形を基 an の係数がn, an+1 の係数が (n+1) となる。 (2)(1) と同じように, f(n+1)an+1=f(n)an+(nの式) の形にするには,両辺をどのよう な式で割るとよいかを考えてみよう。 脱 an+2d して, よって 特性方程式 [1] 異なる 解答 a (1) 両辺に n(n+1) を掛けると (n+1)an+1=nan a bn=nan とおくと bn+1=bn ←bn+1=(n+1)an+1 また, b1=1.α=1から6m=bn-1=.... したがって bn=1 ①より、 b1=1 a bn 1 よって an n n ②より (2) 両辺を n(n+1) で割ると an+1 an 1 + a n+1 n n(n+1) ←n(n+1)≠0 1 an bn とおくと bn+1=bn+ n(n+1) n 1 1 ゆえに bn+1-bn = n n+1 また b=q=2 PRACTICE 40° 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 ただし, (2) an を利用して求めよ。 bn n(n+1) よって, n≧2 のとき n bn=b₁+ +(-1)-2+(1-1)-3-1 k=1 k b=2であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。 ゆえに bn=3- m≧1) n よって an=nbn=3n-1 ←数列{bn+1-bm} は, 数 列{bm} の階差数列。 α≠βであ [2] 解 a=βであ 数列{an+ a0 a ④③から ← bn+1= an+1 11 n+1 1 1 1 n(n+1) n n+1 弘前大] よって、

数3微分です 解説で〜前後で符号は変化するから〜とありますがこのグラフは覚えておくものですか？どのように考えるのですか？

24 減衰曲線の極値 関数 f(x) =earsing は 4 で極大値をとる. I (1) 定数αの値を求めよ. (2)x>0 における f(x) のすべての極大値の和を求めよ. (京都工芸繊維大)

ここが理解できなくて詳しく教えて欲しいです なぜa-b+cがx=−1のときのyの値になるのでしょうか

こしておき 基本 例題 52 2次関数の係数の符号とグラフ 2次関数y=ax2+bx+c のグラフが右の図で与えら れているとき, 次の値の符号を調べよ。 (1) a (4) b2-4ac (5) a-b+c (2) b (3)c CHART & THINKING 0 ( のとき, グラフから情報を読み取る 式の値は直接求めることができない。 上に凸か. 下に凸か? 「上に凸か,下に凸か」, 「軸や頂点の位置」, 「軸との交点の位置」 などに着目して 式の値の符号を調べよう。 x p.91 基本事項 基本 51 97 頂点のy座標は? 31 x=-1 における 10 y 座標は? 1 軸との交点の 位置は? 軸の 位置は? 解答 変 ax+bx+c=a(x+2)-B-Aac Aa b よって、放物線y=ax2+bx+c の軸は直線x=- 2a' ax2+bx+c = a(x² + bx)+c 必要が 頂点の座標は 62-4ac 4a y軸との交点のy座標はcであ -a(x+2/2)-(2/2)+c b b る。 =a(x- b 6 \2 =ax+ a +c 2a また, x=-1のとき y=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c |= a(x- =ax+ b2 2a 2a b2-4ac 4a (1) グラフは上に凸の放物線であるから a<0 b b (2) 軸が の部分にあるから <0 >0 2a 2a (1) より, a <0 であるから (3) グラフが軸の負の部分と交わるから b<0 c<0 b2-4ac (4) 頂点のy座標が正であるから ->0 ←放物線y=ax2+bx+ 4a について、 (1)より, α < 0 であるから -(b2-4ac)<0 すなわち b2-4ac >0 x軸と異なる2点です わる のを (5) a-b+c は, x = -1 におけるyの値である。 b2-4ac> が成り立つ (p.139 を参照)。 グラフから,x=-1 のとき y>0 すなわち a-b+c>0 PRACTICE 52Ⓡ 3 計算ミス y 右の図のような2次関数 y=ax2+bx+c のグラフについて, 次の値の正, 0, 負を判定せよ。 (1) a (2) b (3)c 0 1 ( h.

等式の証明で下の方にある質問コーナー（2）のやつで問題文の等式から示しても別にいいと思ったのですが理解力がなくて説明してる意味がわからなくて誰か分かりやすく教えていただきたいです🙇‍♀️🙇‍♀️

て >0 基 本 17 等式の証明 (1) 次の等式を証明せよ。 基本 (1) (a+b)(a³+b³)-(a²+b²)²=ab(a−b)² (2) (a²-b²) (c²-d²)=(ac+bd)² - (ad+bc)² CHART & GUIDE 等式 A=B を証明するには,次の1 「のいずれかの方法で進める。 A を変形してBを導くか, B を変形してAを導く。 ② AとBをそれぞれ変形して,同じ式を導く。 A-B=0 であることを示す。 3 (1) - (2) TRAHO 1章 60 (1) (左辺)=(a+ab+α°b+b^)-(a'+2azb2+b*) 解答 =ab+ab-24262 =ab(b2+α-2ab) =ab(a-b)2=(右辺) 等式・不等式の証明 "d+dp+ --8-02- +d+ (1) 両辺を比較すると, 左 辺の方が複雑であるから, 左辺を変形し,右辺を導 く。 その際、目標の式 辺)の形をみながら計 算する したがって (a+b)(a+b)-(a+b2)²=ab(a-b)2(2)両辺が同程度の複雑さ (2)(左辺)=dc2-dd2-b2c2+b'd? (^-°n)+s(d-n)= (右辺)=(ac2+2abcd+bd2)-(a'd+2abcd+b2c2) したがって =a²c²-a²d²-b²c²+b²d² (6+p+3)(6-1)= とみて、それぞれを変形 (展開) し、 同じ式を導く。 は同じ式 ad 0=5+to (a2-62)(c2-d2)=(ac+bd)-(ad+bc)20 つれだしん 右辺も同様にして 質問 ? 問題文の等式から示せばよいのでは? コーナー [(2) の正しくない証明] (A2-62)(c2-d2)=(ac+bd)-(ad+bc)2 0=5+6+ ENGL ...... A a²c²-ad²−b²c²+b²d²=(a²c²+2abcd+b²d²)-(a²d²+2abcd+b²c²) ka²c²-ad²-b²c²+b²d²=a²c²-a²d²-b²c²+b²d² (0-9 (2)の証明をこのようにしたとき, 両辺に同じ式が現れたため、正しい証明と勘違いしてしまう かもしれない。しかし、証明したい式 A を利用して進めているため,これでは、問題文の等式 を証明したことにならない。 証明は、証明したい式・事柄を利用して進めてはいけないことに注意しよう。 RAINING 17 2 次の等式を証明せよ。 1) α'+46°={(a+b)'+62}{(a-b)2+62} OMINIART 20=5+d+p

(1)cosの求め方を教えてください (2)正弦定理使えますか？

重要 例題 141 四面体上の折れ線の最小値 11 四面体 ABCD があり, AB=BC=CA=8, AD=7 である。 COS ∠CAD= のとき、次のものを求めよ。 14 (1) 辺 CD の長さ 000 (2) ∠ACD の大きさ 基本 121,137 (3) 辺 AC上の点Eに対して, BE+ED の最小値 CHART & THINKING (1) (2) 辺 CD, ∠ACD 空間の問題 平面図形 (三角形) を取り出す を含むのは ACD (1), (2) 求めるものを含む三角形はどれかを 見極めよう。 A (3) 空間のままでは考えにくい。 △ABCと △ACDを1つの平面上に広げ, 平面図形と して考えよう。 E ⇒ B< D PE B (3) 辺 AC の D C まわりに広げる C 解答 (1) ACD において, 余弦定理により CD2=7+82-2・7・8cos∠CAD=25 CD> 0 であるから CD=5 (2) ACD に余弦定理を適用して A ( COS∠CAD= 11 8. 8 S)xS D B 82+52-72 COS ∠ACD= 8 2.8.5 2 C よって ∠ACD=60° 14 E A 1 (3) 右の図のように,平面上の四角 ← 四面体 ABCD の側面 8 形ABCD について考える。 7 3点B, E, D が1つの直線上に あるとき, BE+ED は最小になる。 よって, BCD において, 余弦 定理により B △ABC, △ACD を平面 上に広げる。 1 E D 8 60°60° 最短経路は展開図で 2 120°- 50 点を結ぶ線分になる。 C BD2=82+52-2・8・5cos <BCD=129 BD> 0 であるから BD=√129 <+2BCD = ∠ACB + ∠ACD=120° したがって, 求める最小値は √129 1 cos 120°--- 2 NFORMATION 折れ線の長さの最小値 3)BE+ED は折れ線の長さと考えられる。この長さは, 折れ線がまっすぐに伸び して線分になるとき最小となる。 2点間の距離の最小値は, 2点を結ぶ線分の長さ ACTICE 141 ■の長さがαの正四面体 OABCにおいて,辺AB, BC, OC それぞれ点P,Q,Rをとる。 頂点から,P,Q,R の順 点を通り、頂点Aに至る最短経路の長さを求めよ。うら 0 A P Q 1 R 11