基本 例題 5
二項係数と等式の証明
①①①
(1)km=nn-1C- (n≧2, k=1,2, ....... n) が成り立つことを証明せよ。
knCk=nniCk (n≧2,k=1,2,
(2) (1+x)" の展開式を利用して、 次の等式を証明せよ。
(ア) Co+mi+nC2++Cr+......+nCn=2"
(イ)
Co-Ci+mC2-+(-1)',Cy+......+(-1)"Cn=0
(ウ) Co-2ヵC+22„C2+(-2)",C+....+(-2)”nCn=(-1)"
p.11 基本事項 4
n!
指針▷ (1) C=
r!(n-r)!
を利用して, knCk, nn-Ck-1 をそれぞれ変形する。
(2)
(p.11 基本事項 4)において, a=1,b=x とおくと
二項定理
(1+x)"="Co+nCx+nCzx+......Cx+......+nCnx"
等式① と, 与式の左辺を比べることにより、①の両辺でx=1とおけばよいことに気
づく。 同様にして、(イ), (ウ)ではxに何を代入するかを考える。
に変形
解答
n!
(1) kCk=k
(n-1)!
=n(k-1)!(n-k)!
k!(n-k)!
nn-1Ck-1=n.(k-1)!{(n-1)-(k-1)}!
したがって
100n!=n(n-1)!
(n-1)!
(n-1)!
=n°
(k-1)!(n-k)!
knCk=nn-1Ck-1
L
すべてのの値に対して成り立つ。
