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√2+40 が自然数となるような自然数n をすべて求めよ。 (1)
|指針
√m²+40=m(mは自然数) とおき, 両辺を平方して整理すると
よって (m+n)(m-n)=40 ① ←() () ()
m²-n2=40
ここで, A, B, Cが整数のとき, ABC ならば A, B は C の約数 (*)
を利用して、 ① を満たす整数m+n, m-nの組を考える。
CHART 整数の問題
このとき, m>0,n>0よりm+n>0であるから, ① が満たされるとき m-n>0
更に,m+n>m-nであることを利用して, 組の絞り込みを効率化するとよい。
( )( )=(整数) の形を導き出す
√n2+40=m(mは自然数) とおくとn<m
解答 平方してn2+40=m²
ゆえにいで(m+n)(m-n)=40
......
①
An=√n² <√n²+40=m
2m²-n²=40
mnは自然数であるから, m+n, m-nも自然数であり,
40の約数である。という
また, m+n>m-n≧1であるから, ① より
m+n=8
m-n=1'|m-n=2' m-n=4lm-n=5
TRAN
<n>0から
m+n>m-n
(m+n=a,m-n=6と
すると
At AS a+b
m=
n=
2
a-b
2
m+n=40 m+n=20
{ m + n=10
解は順に
「進め
(m, n)=(1, 39), (11, 9), (7, 3), (1,
13 3
2
したがって、求めるnの値は n=9,3
なる実数とすると、2.923
mn が分数の組は不適。
加
積がある整数になる2整数の組の求め方
上の解答の①のように, ()=(整数) の形を導くことは,整数の問題における有効
検討
な方法の1つである。()()=(整数) の形ができれば,指針の(*) を利用することで,
値の候補を絞り込み, 答えにたどりつくことができる。
また,上の解答では,積が40 となるような
2つの自然数の組を調べる必要があるが, その
ような組は, 右ので示された, 2数を選
ぶと決まる。 例えば, 1と40に対して(1,40)
と (40, 1) の2組が決まるから, 条件を満たす
組は全部で4×2=8 (組) ある。
を利用することで,
(m+n, m-n) の組を4つに絞る工夫をしている。
40の正の約数
p>C
40=235 から (3+1)(1+1)=8(個)
↓ 7
1,2,4,5,8, 10, 20, 40
しかし,上の解答では,
なお、整数a,bに対し, (a+b)-(α-b)=26(偶数) であるから, α+ b と a b の偶奇
は一致する。このことを利用すると,上の解答の の組は省くことができて, 2組に絞
られるから,更に効率よく進められる。
(1)
arr
