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PLUS
211
PALL
例題247 区分求積法 [1]
次の極限値を求めよ。
n
(n+1)²
(2) lim
(3) lim
(4) lim
COS
1
no k=l2n+k
1
月0k+1 k
(3) は
limak = lim-
18k=1
) 12 Σ, (4) 12
=lim
11→
部分和が求められない。
Action≫ 無限級数 lim
段階的に考える
区分求積法によって, lim a の値を求める手順
110k-1
(1) (与式) lim
+
=lim
π + 2 cos +...+ncos
2n
n
(n+2) 2
=f'(x)dx
=
11 >bk
= π ( [x₁
x.
1台
n = n k=1
2π
2n
右の図の長方形の面積の和
1② (1)は、定積分∫f(x)dxとせよ
n→∞ nk=
n
(n+k) ²
+･･･ +
(2) (5) = limkcos
Je=1
2|π
=[-
-+=1/
であり, ②ではない。
+1
図で考える 右上の図と同様に考えると,積分区間はどうなるか?
= lim
2
kπ
2n
←ーをくくり出す。
1を
n
n
(n+n)²
k
by の式で表す。
n
k
= xlim = cos(4)
n k=1 n
2
n
nπ
2n
1
no kn
1
1
dx
(+45 +4
k
1+
をxと考える。
π
=T
-=[ xos xdx = xx (² sin x) dx
XCOS 7
n²
(n+k) ²
sin x-sinxdx)
2
2
- * ( ²² - ²/ [-² cos x]) = 2-4
IT
T
COS
π
πC
π
0 123
nnn
A
出す。
k
n
1
189039
(日本大)
で表し、12をくくり
y=f(x)
の形をつくる。
+
以外をΣ の中へ入れ
n
る。
部分積分法を用いる。
sinx=(-cos)
(3) (与式) lim
(4) (与式)
〔別解)
lim
= log3-log2 =
= lim
2" 1
k=n+1 k
k=1 n
= √₁₁ 2 + x dx = [108/2 + x1 ]
3
8/2/20
1
n
2+
1
k=n+1n
1
1
n+1
n
= S₁² = - dx = [10g|x 1]
=log2-log1=log2
k=n+k
+
k
n
log
(2) limlog
1
k
よって
1
(4x) = limn+k = lim-
11-0³
1
n+2
1100Nk1
=lim
1-100 nk=n+1 k
m² 2
n
+
映画 247 次の極限値を求めよ。
2
(1)
+
4+n²
1
n+3
(3) (4¹sin x)
n+1
27
n b
Point 区分求積法
区分求積法について、 基本的な関係式は
lim()-(x)dx
Im()-(F(x)dx
のようにぃの項の和の形であるが, (3) のような Σゃ
k
1+
- 1dx = [log|1 + x1] - log2
-dx=
=
=
n
+ ･･・ +
n+100
さらに 2 となっても積分区間は0から1となる。
k
n
3
+
9+n²
+･･･+
21-1001+n²
Lim log(n+1) * (+2)* ... (2) *
21-00
1"
n+n
y4
(4) lim (+)
1
1
12-00
√n+2
n
2²)
√2n
012
Inn
y=2+x
0
0 123
nn n
n+1
n
右端はx=1+- 1
n
るが, n→∞ のとき
1であるから,
n
積分区間は0から1とな
る。
11
=1n+1
n
k=n+1
1から2となる。
=1+1
のとき分区間は
y=f(x)
であ
11
n+100 x
n
1+
100 1
n
(n→∞0)
6章 1 区分求積法,面積
(東海大)
p.490 問題247
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