129. 記述これでも大丈夫ですか？？

JUL 510 OS 00000 基本例題1291次不定方程式の応用問題 3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の ものを求めよ。 指針▷ 基本 127,128 が共通の数。 8が最小である。 3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23, よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると 3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。 A8, 23, 38, 53, 68, また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53, A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 -110/ そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。 CTORUTSJEFE 解答 nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3 3)=0 S&TS 5y+3=7z+4 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 小 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1 x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x 3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表 される。よって x=5k+2(kは整数) ② bom) 3(5k+2)+2=7z+4 ② を 3x+2=7z+4に代入して ゆえに z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4) 7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と 表される。 よって z=151-8 (Zは整数) (Thom) これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528 最小となる自然数nは, l=1 を代入して 53 TE bom) 85-= として解いてもよいが,係 数が小さい方が処理しやす い。 このときy=3k+1 x-7z=2から 7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0 ゆえに, Zを整数として x=7l+3 これと x=5k+2 を等置し て 5k+2=7l+3 よって5k-71=1 これより, k, lが求められ るが, 方程式を解く手間が 1つ増える｡ 検討 百五減算 2+(3=376)00=1+00=178 ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年 齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。 求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり, n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7) よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。 ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k このkが105を引く回数である。 TRON 練習 3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち (3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。 どのよう できない 3m よー 解答 mnは食 [1] n= よって, x=3m- [2] n= ここで. よって ......) [3] n= ここで よって ......) [1]~[3] 形に表す よって, したが一 (検討 次ペー しかし 然数も なお、 a

解説のよっての部分から分かりません。 S＝2分の2➕3🔺ANCはなぜですか？

東習 B4 AP: PO=13:2 8 △ABCの辺ABを1:2に内分する点を M, 辺BCを3:2に内分する点をとす 線 る。 分 AN と CM の交点を0とし、直線BO と辺ACの交点をPとする。△AOP の面積が1のとき △ABCの面積Sを求めよ。 [ 岡山理科大 ]

126.1 解説の3行目以降の()は何をしているのですか？

504 00000 基本例題126 互除法の応用問題 (1) 2つの整数m,nの最大公約数と3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一致す ることを示せ。 (2) 7 +48 +5 が互いに素になるような 100 以下の自然数n つあるか。 指針 最大公約数が関係した問題では, p.501 基本事項 ① (*)で示した, 右の定理を利用して,数を小さくし ていくと考えやすい。 本問のように,整式が出てくるときは,まず, 2つの 式の関係をa=bg+r の形に表す。 次に, 式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 解答 2 数A, B の最大公約数を (A,B) で表す。 口 (1) 3m+4n=(2m+3m) ・1+m+n, 2m+3n=(m+n) ・2+n, m+n=n·1+m よって (3m+4n, 2m+3n)=(2m+3n, m+n) =(m+n, n)=(n, m) したがって,m,nの最大公約数と3m+4n,2m+3nの最 大公約数は一致する。 221 DE 01 ① とおくと 2 は全部でいく p.501 基本事項 ① aとbの最大公約数 a=batr 等しい 3m+4n=a m=3a-4b [別解 2m+3n=b n=36-2a mとnの最大公約数をd, aとbの最大公約数をeとする。 ① より αと6はdで割り切れるから, dはaとbの公約数 である。 ゆえに d≤e ...... e≦d 同様に,②よりはとnの公約数で ③ ④ から d=e よって, 最大公約数は一致する。 (2) 8n+5=(7n+4)·1+n+1, 7n+4=(n+1).7-3 ゆえに (8n+5, 7n+4)=(7n+4, n+1)=(n+1, 3) 7 +4と8+5は互いに素であるとき, n+1と3も互いに 素であるから, n +1と3が互いに素であるようなnの個数 を求めればよい。 R-X10 2≦n+1≦101 の範囲に,3の倍数は33個あるから 求める 自然数は 100-3367 (個) 練習 ③ 126 (1)a,bが互いに素な自然数のとき, 3a+7b 2a+5b とrの最大公約数 差をとって考えてもよい。 3m+4n-(2m+3n) = m+n 2m+3n-(m+n)=m+2n m+2n-(m+n)=n m+n-n=m <m=dm',n=dn', a=ed', b=eb' とする ① は 'd(3m'+4n')=a d(2m'+3n')=b re(3a'-4b')=m e(36'-2a')=n ②は a=bg-r のときも (a, b)=(b, r) が成り立つ。 .501の解説 と同じ要領で証明できる。 は既約分数であることを示せ。 (2) 3n+1と4n+3の最大公約数が5になるような50以下の自然数nは全部で いくつあるか。 Op.514 EX87.88 以下 1 フ r 角 例1 た た x 例2 方 a VE x ア G C Q Ve 3

【至急】数学の問題です 赤箱に赤玉2個白玉1個、白玉には赤玉1個白玉2個 条件 ・取り出した玉はその玉の色と同じ色の箱に戻す ・一回目は赤玉の箱からランダムに玉を一個取り出す ・二回目以降は前回引いた玉の色と同じ色の箱から玉を一個引く このときn回目に取... 続きを読む

116.4 記述でこの回答でも良いですか？

486 00000 基本例題 116 割り算の余りの性質 a,bは整数とする。 α を7で割ると3余り, bを7で割ると4余る。このとき, 次の数を7で割った余りを求めよ。 (1) a+2b (2) ab (3) aª CHART 割り算の問題 基本 指針▷> 前ページの基本事項③の割り算の余りの性質を利用してもよいが,(1)~(3) は、 a=7g+3, b=7g'+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。 282700 (3) (7g+3)^ を展開して, 7× ○ ▲ の形を導いてもよいが計算が面倒。 α = (d²)^ に着目 し,まず,2を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 (4) 割り算の余りの性質4α”をmで割った余りは,” をmで割った余りに等しい を利用すると,求める余りは 「32019 を7で割った余り」 であるが, 3219 の計算は不可能。 このような場合,まず α" をmで割った余りが1となるnを見つけることから始める のがよい｡ 解答 a=7g+3,6=7g' +4 (q, q' は整数)と表される。 (1)a+26=7g+3+2(7g'+4)=7(g+2g') +3 +8 =7(g+2g′+1)+4 THO したがって、求める余りは 4 (2) ab=(7g+3)(7q'+4)=49gg'+7(4g+3g′)+12 (4) a OSHO 2019 A=BQ+R が基本 (割られる数) = (割る数) × (商)+(余り) 余りに等しい。 2019=q2016a3= (q6)336.3であるから、求める余りは, 1336.6=6を7で割った余りに等しい。 したがって 求める余りは 6 練習 ②116 き,次の数を5割 =7(7gg' +4g+3g′+1)+5 したがって,求める余りは 5 (3) a²=(7g+3)=49q²+42g+9=7(7q²+6g+1)+2 よって, d²=7m+2(mは整数)と表されるから a^=(a²)²=(7m+2)=49m²+28m+4=7(7m²+4m)+4 4 したがって 求める余りは (4) を7で割った余りは,3を7で割った余り6に等しい。 よって、(a)2=d を7で割った余りは,62=36を7で割った a,bは整数とする。 αを5で割ると2 別解 割り算の余りの性質を 利用した解法。 (1) 2を7で割った余りは 2 (27.0+2) であるから、 26を7で割った余りは 2・48を7で割った余り1 に等しい。 ゆえに α+2を7で割っ た余りは3+1=4を7で 割った余りに等しい。 よって 求める余りは 4 (2) ab を7で割った余りは 3･4=12を7で割った余り に等しい。 よって、求める余りは 5 (3) αを7で割った余りは 3* = 81 を7で割った余り に等しい。 よって、求める余りは る。 この

数3対策として、基礎問題精巧の数3を使ってるのですが、数3 重要事項完全習得編も基礎問の後に取り入れるべきですか？

大変お手数おかけしますが、もしこの問題集の答え冊子持ってる方いらっしゃったら、 88(p133),89(p134),97(p146),108(p162),109(p163) の答え・解説を送っていただきたいです🙇🙇 (かっこの中のページ数は問題が本誌に掲載されているページです)

共通テスト対策 実力養成重要問題演習 分野別に基礎の定着をはかり, 思考力の土台を養成する 米女 数学 7 Learn-S 2024 共通テスト 重要な考え方を身につけ、 共通テストに向けて 対応力を磨く Te Benesse

106.3 記述これでもいいですか？

472 基本例題106 約数の個数と総和 (①) 360 (2) 12" の正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。 (3) 56の倍数で,正の約数の個数が15個である自然数nを求めよ。 p.468 指針▷ 約数の個数, 総和に関する問題では,次のことを利用するとよい。 自然数Nの素因数分解が N = pare…･････ となるとき 正の約数の個数は (a+1)(6+1)(c+1)...... EO (1+p+p²+...+pª)(1+g+q²+···+q°)(1+r+r²+··+²) ******** (1) 上のNが2を素因数にもつとき, Nの正の約数のうち偶数であるものは 2°•g.xc...... (a≧1,b≧0,c≧0, ...;g,r, ··· は奇数の素数 1+ の部分がない。 【CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用 と表され, その総和は (2+2²+...+2ª)(1+q+q²+…+q°)(1+r+r²+...+rº)... を利用し, nの方程式を作る。 (2) (3) 正の約数の個数 15 を積で表し, 指数となる a, b, の値を決めるとよい。 15 を積で表すと, 151 53 であるから, nは15-11-1 または5-13-1 の形。 解答 (1) 360=2.32.5であるから,正の約数の個数は (3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24(個) また,正の約数のうち偶数であるものの総和は 00000 ←p,g,r, ….. は素数。 14 pg're の正の約数の個数は (a+1) (6+1)(c+1) (p,q,r は素数 積の法則を利用しても求め られる (p.309 参照)。 (2+22+2)(1+3+32)(1+5)=14・13･6=1092 (2) 12"=(22-3)"=22"• 3" であるから, 12" の正の約数が28個(ab)"=a"b", (q""="" であるための条件は (2n+1)(n+1)=28 このところを2mmとし 偶数は201 みである。 よって 2n²+3n-27=0 ゆえに (n-3)(2n+9)=0 nは自然数であるから n=3 (3)の正の約数の個数は 15 (=15・1=5･3) であるから,nは か pg²(p, g は異なる素数) または の形で表される。 nは56の倍数であり, 56=2.7であるから, nは²の形の場合は起こらない。 で表される。したがって, 求める自然数nは n=24.72=784 たら誤り。 <p=2,g=7 15-1515-11-1 5･3から D-13-1 (1) 756 の正の約数の個数と、正の約数のうち奇数であるものの総和を認めた 練習 2 106 (2) 正の約数の個数が3で,正の約数の総和が57 となる自然数nを求めよ。 (3) 300 以下の自然数のうち,正の約数が9個である数の個数を求めよ。 CP. 484 EXTO 指針 n CH 解 √n²+ 平方し m, n 40の糸 また、 解は順 したが 検討 上の 1つ 答え ま の自 は, 例え が決 ある とい ため、 しか る。 一致 10 練習 107

大学受験の過去問です。回答教えて欲しいです！

次の問題1 は 1 以下の問いに答えよ。 の中に解答を書くこと｡ (1) a,bを実数として、 複素数 1-v 1+V2 (2) 2次方程式2+3c-1=0の2つのをaとするとき, of af +82= ある。 また、公差は fo (3) 初境が6で未項が16の等差数列があり、 すべてのが90 となるとき､数は のは の形に表すと、 である。 特式f(d=22-5-3 を満たす関数f(x)は である。 である。 - である。 212 3 人 となる。 (5) Blogs logs 50g 計算すると / である。 また, log2 5 x logs 3 x log」 8 を計算すると 3 wysostora. のとき、y=cos 20 +2sin 01 の最大値は である。 また、 5回投げたとき､点Pが1より右の位置にいるは 15 3 (6) 出たときは左へ2だけ進むものとする。さいころを3回投げたとき、点Pが点いる確率は である。 で 定数aの値は である。 また、そのときの (7) 数直線上で、点Pは点Oを出発し、さいころを投げて4以下の目が出たときは右へ」だけ進み、他の目が 3 である。 次の問題 2 は卵に至るまでの計算過程を書くこと。 20h=(2,-1),OB=(1,3), 06 (7,7) のとき、次の問いに答えよ。 T (1) a, B を実数として、0+801と表すとき,の値を求めよ。 (7.7)=d(2,-1)+B(1,3) 7=0+3B7=-X+9 d=2、B=3 △OAB において、辺ABと直線OCの交点をPとするときを実数としてOP=OCとせるの 値を求めよ。 (2) 直線BC上を点Qが働いて行くとき, PC が最小となるような点の座標を求めよ

105.2 記述これでも大丈夫ですか？？

求めよ。 の数の差が たよ。 148 基本事項 [2] れる。 3桁が8の なす ) +b を示す。 36 n ると 22 である なる。 基本例題105 素因数分解に関する問題 解答 n 6 7 が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 40 n² n³ 1961 441 いずれの問題も素因数分解が,問題解決のカギを握る。 (1) √A" (mは偶数)の形になれば, 根号をはずすことができるから, √の中の数を素因数分解しておくと、考えやすくなる。 n (2) = (mは自然数)とおいて, n² n³ 196' 441 を考える。 63n 40 V 32.7m 3 7n 2³.5 2 V 2.5 これが有理数となるような最小の自然数nはn=2・5・7=70 [ 105 = = (m は自然数) とおくと n=2.3m 6 n222.32m² ゆえに がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 P.468 基本事項 3-m²-(37)² 196 22.72 72 これが自然数となるのはが7の倍数のときであるから, m=7k(kは自然数) とおくと n=2.3.7k..... 2³-33-7³k³23.3.7k³ よって (1) (2) n³ 441 3².7² これが自然数となるもので最小のものは,k=1のときである から ① に k=1 を代入して n=42 = 検討 素因数分解の一意性 |素因数分解については,次の 素因数分解の一意性も重要である。 が自然数となる条件 77 解答 3"15"=3"(3.5)"=3m+n.5", 405=34.5 であるから 3+".5"=34.5 よってm=3, n=1 指数部分を比較して m+n=4,n=1 n 45 n を求めよ。 <63=32・7,40=23-5 3 7 2 √2-5 合成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ1通りである。 したがって、整数の問題では、2通りに素因数分解できれば、指数部分の比較によって方程式を 解き進めることができる。 問題3"15"= 405 を満たす整数 m, n の値を求めよ。 素因数分解 3) 63 3)21 7 63=3²-7 = X2-5-7 12/27-22 (有理数) ・7: となる。 TAHO ①より, kが最小のとき, nも最小となる。 500 が有理数となるような最小の自然数n V77m /54000nが自然数になるような最小の自然数n を求めよ。 n³ がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 Op.484 EX 74.75 471 4章 17 約数と倍数 最大公約数と最小公倍数 3 る 15 1!'C 1 m っ 倍で 数 ① る n進