199nを自然数とする。 正 6 角形の異なる3個の頂点を結んで三角形をつくるとき、 次の三角形
の個数を求めよ。
(1) 正三角形
(2) 直角三角形
正6m 角形の頂点を順に A1,A2, Ag.
...,
Aor とする。 また,この正6角形の外接円
の中心をOとする。
(1) k=1,2,3,..., 2n に対して,
正6角形の3頂点Ak, A2n+k, Anth を
結ぶと正三角形が1つできる。
よって、求める正三角形の個数は
Aon-1
An
•O
(3) 二等辺三角形
A1
A2
A₁
2n 15
(2) k=1,2,3, ..., 3n に対して, 線分 AkA3+kは外接円の直径
となるから, Ak, A3n+k およびこの2点を除く正6角形の1つの
頂点を結ぶと直角三角形が1つできる。
よって、求める直角三角形の個数は
3nx (6n-2)=6n(3n-1) (個)
(3) k=1,2,3,・･･, 6n に対して, 頂点 A および直線OAに
ついて対称な正6n 角形の異なる2頂点を結ぶと, Akを頂点とし
直線OA を対称軸とする二等辺三角形が1つできる。
よって, Ak を頂点とし直線OA k を対称軸とする二等辺三角形は
(3n-1) 個
この (3n-1) 個の二等辺三角形の中の1つは正三角形であるから,
△A1A2n+1Aan+1,
△A2Azn+2Aan+2,
・・・, △Azn Aan An
は正三角形である。
●直径に対する円周角は
90° である。
Ak, A3n+k 以外の頂点は
6-2 (個)ある。
