-
![]()
重要
例題
28 S2m, S2m-1 に分けて和を求める
n
一般項がαn=(-1)+1n2 で与えられる数列{an} に対して, Sn=ak とする。
KI) azk-1+a2k (k=1,2,3, ......) を用いて表せ。
((2) Sn=(n=1, 2, 3,
指針
・・・・) と表される。
k=1
(2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。
次のように項を2つずつ区切ってみると
Sn=(12-22)+(32-42)+(52-62)+......
(2)+(
=b1
=b2
=bs
上のように数列{bn} を定めると, bk=a2k-1+azk (kは自然数) である。 よって, m
を自然数とすると
[1]nが偶数、すなわちn=2mのときはSm=2bi=(azn-1+aan)として求め
られる。
1
[2]nが奇数,すなわちn=2m-1のときは,Sam=S2m-1+α2m より
S2m-1=Sam-a2mであるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。
このように、nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。
(1) A2k-1
1+a2k=(-1)2(2k-1)+(-1)2k+1(2k) 2
=(2k-1)-(2k)²=1-4k
答
(2) [1] n=2mmは自然数)のとき
m
S2m=(a2k-1+a2k) = (1-4k)
k=1
基本 n
m=
m
k=1
m-4.1m(m+1)=-2m²-m
1 であるから
-2(2)²=-n(n+1)
==
[2] n=2m-1 (mは自然数) のとき
azm=(-1)2m+1(2m)=-4m² であるから
S2m-1=S2m-azm=-2m²-m+4m²=2m²-m
_n+1
m=
m-2
であるから
(−1)数=1, (−1) 奇数=-1
={(2k-1)+2k}
x{(2k-1)-2k}
Szm=(a1+a2)
+(a3+α)+..
+(a2m-1+a2m)
Szm=-2m²-mに
n
=177 を代入して,n
m=
2
の式に直す。
S2m=S2m-1+a2m
を利用する。
451
1
章
3種々の数列
Sn=2(n+1)_n+1=1/12(n+1)(n+1)-1
2
=(+1)
(−1)"+1
[1] [2] から
Sn=
-n(n+1)
n(n+1)*
=(-1)+..+8+8+1
S2m-1=2m²-m n o
式に直す。
THAN
(*) [1], [2] の Sn の式は
符号が異なるだけだから,
(*)のようにまとめるこ
とができる。
