この文におえるonce はどのような意味で使われているのですか？🙏

13 1 Kepler-186f orbits its parent M dwarf star once every 130 days S V 0 and receives one-third the energy [that Earth gets from the sun], 0 (placing it nearer the outer edge of the habitable zone). |和訳 ケプラー 186fはM型矮星の周りを130日周期で回っており、地球が太陽から 得るエネルギーの3分の1のエネルギーを受け取っていて、 その軌道は可住圏 の外縁部のより近くにある。

四角1の場合分けの時、重解てゆうてるんですけど、2点で接する時って絶対接する点のXの値が違うのに何故、重解ってなるんですか？

いて 2/20 155 重要 例題 95 放物線と円の共有点 接点 00000 本 放物線y=1/2x2+α 円 x+y=16 について,次のものを求めよ。 (1)この放物線と円が接するときの定数αの値 基本事項 本例で (2)4個の共有点をもつような定数αの値の範囲 MOTO CHART & SOLUTION 放物線と円 共有点実数解 接点重解 この問題では,xを消去して, yの2次方程式 4(y-a)+y2=16 の実数解, 重解を考える。 なお,放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をもつと で、この問題の場合, 右の図から, 2点で接する場合と1点で接す る場合がある。 解答 (1) y=1/2x2+α から x=4(y-a) ただし,x20 であるから ya ...... ②直 ① を x2+y2=16 に代入して 日 824(y-a)+y'= よって y'+4y-4a-16=0 a=4 YA [2] の方程式 4 基本 88 1点で 接する 3章 2点で接する if α=4 のとき,③は y2+4y-32=0 すなわち (y-4)(y+8)=0 [2] a=-4/ から,y=4(適), -8 (不適) で重解をもたない。 y=-x+4 しかし, の AX |x2+y2=16 連立方程式で,yを消去す ると (3) [1] 放物線と円が2点で接する場合 2次方程式 ③は重解をもつ。 ③の判別式をDとすると 0 x 4 ~[1] 21-5 =16 星=2°-(-4a-16)=4a+20 整理して x2(x2+48)=0 D=0 から a=-5 この4次方程式は,2重解 12 円,円と直線,2つの円 このとき、③の重解は y=-2 であるから②に適する。 x=0 をもつから,点(0,4) [2] 放物線と円が1点で接する場合 図から, 点 (0, 4), (0, -4) で接する場合で a=±4 [1], [2] から, 求めるαの値は a=±4,-5 (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から,放 物線の頂点が,点(0, 5) 点 (0, -4 を結ぶ線分上端 点を除く)にあるときである。 よって、 求める定数αの値の範囲は -5<a<-4 PRACTICE 95º で接していることがわかる。 同様に, α=-4のときx についての4次方程式を導 くと x-16x2=0 すなわち x2(x²-16)=0 (2重解),±4 から,x=0 をもつから 点 (0,-4) 接していることがわかる。 放物線と円の交点が4個とな

次の(2)の青線からの下の等号成立が何をしているかよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

練習 71 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなときか。 (1) a+ba+b (2) a+b+c≤a+b+c (1)右辺(左辺)=(|a|+|6|)-|a +612 =a2+2ab+b² - (a+b)2 =2(|ab|ab) ≥ 0 2 = a²+2ab+b² - (a²+2ab+b²) したがって a+b² ≤ (a+b) 2 a+b|≥0 5345 |a||b| = |ab| == AA a+b≥0, a+ba+b これは,|ab|= ab すなわち ab ≧ 0 のとき等号成立。 (2)|a+6|≦|a|+|6| において, 6を6+cに置き換えると a+b+c=a+b+c)| ≤a+b+c | A] = A ⇒ A ≥0 ≤a+b+c よって _a+b+c ≤ a+b+c これは,a (b+c) ≧ 0 かつ be ≧0 a≥0 a≤0 または [b+c≥ 0 b+c≤0 o) [b ≥ 0 かつ または6/0 すなわち a≧0,6≧0,c≧0 または a≧0,6≧0,c≦0 のとき 等号成立。 b+cb+c

次の右下の青いところ言い換えがよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

次の不等式を証明せよ。 また, (2) において等号が成り立つのはどのような ときか。 (1)a>b>0 のとき √2(a+b) > √a+√b (2) 2|a|+|6|≧|24-6| 絶対値|α|や根号を含む不等式は, (左辺) (右辺)を考えても式変形が進まない。 → lap=a, (√α)=αであり,2乗すると絶対値記号や根号がはずれる。 目標の言い換え A > 0, B > 0 のとき 思考プロセス AB⇔A > B 不等式A>B の証明 不等式 A'B' を示し, A > 0, B > 0 より AB を必ず確認する。 A > 0,B>0 でないとき, A> BA° > B', A° > B° XA> B ↑ どちらも成り立たない Action》 根号や絶対値記号を含む不等式は, 2乗して比較せよ (1)(左辺)-(右辺)={√2(a+b)}-(√a+√6) よって =2(a+b)-(a+2√ab +b) = a a-2√ab+b =(√a)-2√√6+(√6) =√a-√6) >0 {√2(a+b)}">(√a+√6) √2(a+b)>0,√a+√6>0であるから √2(a+b) > √a +√6 (2)(左辺) (右辺) = (2|a|+|6|-|24-6|2 = (4|a|2+4|a||6|+|6|°)-(24-b) = (4a²+4|ab|+b²)-(4a²-4ab+b²) = 4(|ab|+ab) ≥ 0 よって (2|a|+|6|) ≧ |24-612 2|a|+|6|≧0, 2a-b≧0 であるから 2|a|+|6|≧|2a-6| 2 両辺を2乗して差をとる。 <a>0,6>0より √a√b=√ab > より √a-√6>0 A > 0, B > 0 A>BA² > B² |A|° = A° ||a||6| = |ab| |ab|≥ -ab これは,|ab|= -ab すなわち ab ≦ 0 のとき等号成立。 |ab|=-ab⇔ab≦0

次のしたの問題で青い所からの意向がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

[1] 次の定積分を求めよ。 ただし, m, n を正の整数とする。 (1) S sinmx sinnx dx π S.” (2) " xsin mx dx π [2] I = { (asinx+bsin2x+csin3x-x)dx とおく。I を最小にするような 0 実数a, b, c の値と, I の最小値を求めよ。 (九州大)

次の30の問題で何故①の判別式だけで実数解を持たないと判断できるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

(ア)(イ)より, 方程式 ① の異なる実数解の個数は 3 <a<0, 0<a< k1のとき2個 3 a = 0, ± のとき 2 1個 3 a< <a のとき 0個 2'2 解の公式を用いると 1+i±√(1+i-1(4+2i) x= 1 =1+i±√1+2i+i-4-2i =1+i±√-4=1+i±2i よって, この方程式の解は x=1+3i, 1-i 2次方程式の解の公式は 虚数係数の2次方程式に おいても成り立つ。 29 2つの方程式 -3x+α = 0, x-ax + α-3a = 0 の一方だけが虚数解をもつような定数α この値の範囲を求めよ。 ただし, は実数の定数とする。 31 2次方程式 x+ax+b = 0 が0でない解α,Bをもち,+p=3, 1/12 1/12 + とき, 実数α, bの値を求めよ。 =1が成り立つ (武蔵工業大) (ア) α = 0 のとき 2つの方程式はそれぞれ3x= 0, x2 = 0 であるから ともに実数解をもち, 条件に反する。 の係数が0のときは2 次方程式にならないから 場合分けして考える。 解と係数の関係により a+b=-a, aβ = b ... 1 ここで,' + B2=3より (a+B)^2uß=3 ① を代入すると a²-26 3 ... 2 ■基本対称式 α+β, aβ で表す。 D₁ =9-4a² - (イ) α 0 のとき ax²-3x+α=0 ① の判別式を D, とおくと − 4 (a² − −2 ) = − 4 (a + 32 ) ( a − ¾³) x-ax+a-3a = 0... ② の判別式を D2 とおくと D₂ a²-4(a2-3a) =-3a²+12a = -3a(a-4) ①が虚数解をもつとき 1 1 a+B また, -+ =1 より =1 分母をはらう。 a B aβ よって a+β= aβ ① を代入すると -a=b ... 3 ② ③より a²+2a-3=0 (a+3) (a-1)=0 より a=-3,1 αを消去してもよい。 ③ より, a = -3のとき α=1のとき b=3 b=-1 D1 < 0 より a<- 3 3 22 <a ...①、 αの係数が負であるから, したがって, 求めるα, bの値は ②が虚数解をもつとき D<0 より a < 0, 4 <a ....②、 注意して2次不等式を解 く。 a=-3,b=3 または 1,b=-1 32 ①', ②' の一方だけが成り立つような αの値の範囲は ② 1 2' 2次方程式 6x+α=0において、 次の条件を満たすようにそれぞれ定数αの値を定めよ。 (1)1つの解が他の解の2乗 (2)2つの実数解の絶対値の和が8 Di < 0 かつ D2≧0 sa<0, 3 ° 4 a <a≤4 D≧0 かつ D <0 の範囲。 (1) 1つの解が他の解の2乗であるから,この2次方程式の2つの解を α, ^ とすると, 解と係数の関係により 2つの解を1つの文字 α α+α²=6... ① a.a=a... ② を用いて表す。 30 定数がどのような実数値をとっても, xの2次方程式 x2(1+i)x+4+2ki=0は実数解を もたないことを証明せよ。 また, k=1のとき,この方程式の解を求めよ。 ①より α+α-6=0 (+3)(α-2)=0 より a=-3, 2 このとき, ②より a=-27, 8 (2) 与えられた方程式の判別式をDとすると, 実数解をもつから この方程式が実数解αをもつとすると a²-2(1+i)a+4+2ki = 0 よって (2-2a+4)+2(-α+k)i=0 k, α は実数より, -2a+4, -α+kも実数であるから 2a+4=0･･･ ① かつ -α+k=0... ② ここで,αの2次方程式 ①の判別式をDとすると =(-1)°-1・4=-3< 0 よって, ① は実数解をもたない。 すなわち, kの値にかかわらず与えられた方程式は実数解をもたない。 次に, k=1のとき与えられた方程式は x²-2(1+i)x +4+2i = 0 (①の左辺) =(-1)+3> 0 としてもよい。 D =9-40 すなわち ≦ 4 2つの解をα とすると, 絶対値の和が8であることから |a|+||=8 ... 1 解と係数の関係により α+β=6... ②, a = a ... ③ ①の両辺を2乗すると a +2\uß\ +B° = 64 (a+B)22aß+2|aβ| = 64 ② ③ を代入すると -α+|a|=14 (ア) 0≦a≦9 のとき 014 となり、不適。 (イ) α <0 のとき -2414 より これは α <0 を満たすから適する。 したがって a=-7 a=-7 絶対値記号をはずすため に場合分けをする。

230の問題で左下の青線からの計算がよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

- ½³ a (1-2cos4x+cos24x)dx 1* (1-2cos4x+ 1+cos8x 2 dx 半角の公式をくり返し用 いる。 1 =* 3 1 4 2 -2cos4x+ cos8x)dx 2 3 1 2 2 - (*-sin4x+sin8x]** 1 16 3 16 π (2) sin4xsin6x dx = - 1 2 Jo sin 10x-1/2 * {cos 10x-cos(-2x)}dx sinasinẞ = - {cos(a + B) sin2x = 0 (3) L cos20 do = I 2 2 cos20-1 -do cos20 1 -(2-) 19 = -[20-1ano] = 44 =(1/2)-(+1)-1/2-13-1 230 次の定積分を求めよ。 (1) (1) L√x+1dx - cos(a-B)} 2倍角の公式 cos20 2cos20-1 (2) S" |√1+cos2x = √1— cos2x |dx √x+1dx=√x-1dx+√x+1dx = = -2 -L'(x-1)x+(x+1)* dx (-x- − 1)} } ] + [ ³ ³ (x + 1) } ] ₁₂ (2) √1+cos2x = 6 3 16 + 3 √1-cos2x dx [ \V2cos* x − 2sin® x \da 42 | | ||cosx| —sinx|da - V2 ( * |cosx = sinx | da + -COSA | sinx|dx $ =√ √ 4z ( sinx – cosx|da + S sinx−(−cosx)\da グラフの対称性より, 求める定積分は y y=sinx I 4√2 √2 f** (cosx-sinx)dx =4V 2sinx+cosx] = 8-4√2 231 次の定積分を求めよ。 y= Cosx y-cost (1)dx sin20 (2) de (3) esin 1+ cos (1) e* =t とおくと, x=logt となり dx 1 = x 0-2 dt t t 1- e² xtの対応は右のようになるから e2x Lodde ex +1 dx = 12 1 t+1 t dt == (1) == t+1 dt = t-log|t+1| e²+1 =e-1-log- 2 (2) S sin 20 do = 1+cose · £*· 42sin@cose do 1+cose 0 0-> 4 dt ここで, cost とおくと -sin0 = 0 との対応は右のようになるから √2 do t 1→ 22 2 |x+1] = (-x-1 (x-1) x+1 (x-1) (与式) 2t 1+t (-1)dt = 2 = 2 √ √ 1 + 1 de dt √21+t =2[ = - 2 √ √ (1-111) de t-log|1+t 2+√2 =2-√2+2log- 4 (3) esinx sin2x = esin³x. 2sinxcosx πT x 0-> dt 4 2cos2 x 2sin x 1+ cos2x 1-cos2x ここで, sinx=t とおくと 2sinxcosx xtの対応は右のようになるから dx 1 t 0 → 2 0≦x≦のとき sinx=0 |cosx| COSX ≤x≤ cost (SIS) (4x) = √* -L² esin x 2sinxcosx dx } = [² e' dt = [e'] = √e-1

11の問題で赤で線を引いた2/3×2/5をして良いのは何故ですか？

426 第7章 確 率 Step Up いろいろな試行と確率 解答編326 章末 ** ある花の1個の球根が1年後に3個 2個 1個 0個 (消滅)になる確率 *** p.407 はそれぞれ 3211 °10'5'5'10 であるとする. 1個の球根が2年後に2個に p.394 なっている確率を求めよ. (早稲田大) *** 7 p.411 ** あるゲームでAがBに勝つ確率はで、引き分けはないものとし, A. Bがこのゲームを行って先に3ゲーム勝った方を優勝とする。 (1) 3ゲーム目で優勝が決まる確率を求めよ. (2) 4ゲーム目でAが優勝する確率を求めよ. *** (神戸女子薬科大・改) 2 p.394 p.410 8 5本のくじのうち1本だけ当たりくじがある. このくじを続けて1本ず p.420 つ引くとき,3回以内に当たる確率を求めよ. ただし, 引いたくじはも とに戻さないものとする. (明星大改) *** 座標平面上の原点から出発して、毎回確率 1 1 6'3' p.412 1 2 でそれぞれ左、上、右へ1ずつ移動する点Qがあ 130 -6---2 る. 9回の移動後に点 (4, 3) にいる確率を求めよ. ** *** 3 10 p.410 30%の不良品を含む製品がある. 任意に3個の製品を取り出すとき,不 良品が2個である確率を求めよ. また, 不良品が1個または3個である 確率を求めよ. P.411 *** 11 p.418 初めに赤玉2個と白玉2個が入った袋がある。 その袋に対して以下の試 行を繰り返す. (1) まず同時に2個の玉を取り出す. (その2個の玉が同色であればそのまま袋に戻し、 色違いであれば赤 玉2個を袋に入れる. () 最後に白玉1個を袋に追加してかき混ぜ、1回の試行を終える。 215回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を X. とする. (1)X,=3 となる確率を求めよ. (2) X2=3 となる確率を求めよ. (3)X2=3 であったとき, Xi=3である条件付き確率を求めよ. 328 第7章 確 率 9 座標平面上の原点から出発して, 毎回確率 ぞれ左上 右への 6' 3' 11. 1/2でそれ (北海道) *** 4 p.411 11 初めに赤玉 (i) まず

9の問題を自分は右の写真のように解いたんですが←5つや↑3つをアルファベットの並び替え確率問題のように同じものも区別しないのは何故ですか？ 答えは合っていたんですがモヤモヤがあって解法に自信が持てないので教えていただきたいです

426 第7章 確率 Step Up いろいろな試行と確率 解答編 p. 326 ** 6 ある花の1個の球根が1年後に3個 2個 1個, 0個 (消滅)になる確率 3 21 p.407 はそれぞれ '10'5'5' 1 10 であるとする. 1個の球根が2年後に2個に なっている確率を求めよ. (早稲田大) *** p.411 ** あるゲームでAがBに勝つ確率は一で、引き分けはないものとし,A. Bがこのゲームを行って先に3ゲーム勝った方を優勝とする. (1) 3ゲーム目で優勝が決まる確率を求めよ. (2) 4ゲーム目でAが優勝する確率を求めよ. (神戸女子薬科大・改) 8 p.420 5本のくじのうち1本だけ当たりくじがある. このくじを続けて1本ず つ引くとき, 3回以内に当たる確率を求めよ. ただし, 引いたくじはも とに戻さないものとする. (明星大改 *** 9 座標平面上の原点Oから出発して,毎回確率 1/3 1 1 p.412 2 12でそれぞれ左、上、右へ1ずつ移動する点Qがあ-2 30 11 2 -2 る。9回の移動後に点 (4, 3) にいる確率を求めよ. ** 10 p.410 *** 11 p.418 30%の不良品を含む製品がある. 任意に3個の製品を取り出すとき. 良品が2個である確率を求めよ. また, 不良品が1個または3個である 確率を求めよ. 初めに赤玉2個と白玉2個が入った袋がある。 その袋に対して以下の 行を繰り返す. (i) まず同時に2個の玉を取り出す。 (その2個の玉が同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば 玉2個を袋に入れる. 最後に白玉1個を袋に追加してかき混ぜ、1回の試行を終える。 2回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を X, とする. (1) X,=3 となる確率を求めよ、 (3)X2=3 であったとき, X,=3である条件付き確率を求めよ. (2) X2=3 となる確率を求めよ. (北海道

メジアン77(2)等式をkと置く問題です！解き方教えて頂きたいです。 答えはアは2.イは-1です！

77 (1) 実数a,b,cがa+b+c=0, abc≠0 を満たすとき, (+1)+(2 + 1) + (2 + 1) over. a (+) の値を求めよ。 (展開してる。 [14 崇城大 ] y+z_z+x_x+yが成り立つとき、この式の値は,x+y+z≠0 なら x y Z (2) ばであり, x+y+z= 0 ならばである。 ¥78 方程式 x2+x+1=0の解の1つをω とすると,ア x 2023-x2をx2+x+1で割ったときの余りは x+ [19 京都産大] である。また, である。 [23 星薬大]