3次関数の決定
00000
0<a<3 とする。 関数f(x)=2x-3ax²+b(0≦x≦3) の最大値が10, 最小値が
-18のとき,定数a, b の値を求めよ。
指針 ① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。
②1 の増減表から最小値はわかるが, 最大値は候補が2つ出てくる。よって, その最大
値の候補の大小を比較し,αの値で場合分けをして最大値をa, b で表す。
解答
f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a)
f(x)=0 とすると
x=0, a
0<a<3であるから, 0≦x≦3におけるf(x) の増減表は次の
ようになる。
0
x
f'(x)
f(x) 6\
76-27a+54
よって, 最小値はf(a)=b-a3 でありb-=-18
また, 最大値は f(0) = b またはf(3)=b-27a+54
f(0) と f(3) を比較すると
ゆえに
a
0
極小
b-a³
f(3) f(0)=-27a+54=-27(a−2)
0<a<2のとき
f(0)<f(3),
2≦a<3のとき(3)(0)
[1] 0<a<2のとき,最大値は
+
f(3)=b-27a+54
6-27a+54=10 すなわち b=27a-44
a³-27a+26=0
って
これを ① に代入して整理すると
ゆえに
(a−1)(a²+a−26)=0
-1±√105
2
よって
a=1,
0<a<2を満たすものは
このとき、①から
[2] 2≦a<3のとき, 最大値は
よって
b=10
これを①に代入して整理すると
a=1
b=-17
f(0)=b
......
a³=28
2833であるから, a=28>3となり、不適。
[1],[2] から
a=1,b=-17
11
(最小値)=-18
① 最大 最小
極値と端の値をチェック
大小比較は差を作る
( 最大値) = 10
10-27
基本211
1 1-26
11-26 0
26 1
< (最大値) = 10
◆場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
hh (-25x≤1) OK
大
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6章
3 最大値・最小値、方程式・不等式
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