（3） a n−1 − a n ＝2のn乗−3n＋1が階差数列になるというイメージが湧きません。階差数列になる証明とか具体例を教えてくださいよ

基本 例題 寺差数列,等比数列, 階差数列と漸化式 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 (1) a1= -3, an+1=an+4 ((3) a1= 1, an+1=an+2"-3n+1 指針 00000 463 (2) a1=4,2a+1 +34=0 [(3) 類 工学院大 ] P.462 基本事項 1 漸化式を変形して, 数列{an} がどのような数列かを考える。 (1) an+1=an+d (anの係数が1で,dはnに無関係) 公差dの 等差数列 (2) an+1=ran (定数項がなく,rnに無関係) →公比の等比数列 (3) an+1=an+f(n) (anの係数が1で, f (n) はnの式) →f(n)=b とすると,数列{bn} は {an} の階差数列であるから,公式 n-1 n≧2のときan=a+bk を利用して一般項 αを求める。 k=1 (1) an+1-an=4より,数列{an}は初項 α1=-3,公差4の 等差数列であるから an=-3+(n-1)・4=4n-7 解答 3 (2) an+1=- 2 -an より, 数列{an} は初項α1=4,公比 3 <a=a+(n-1)d 2 の等比数列であるから an=4 3\n1 章 漸化式数列 (3) an+1-an=2"-3n+1より, 数列{an} の階差数列の第n 項は2"-3n+1であるから, n≧2のとき an=arni 階差数列の一般項が すぐわかる。 (LC- n-1 an=a+(23k+1) k=1 =1+22-32k+21 k=1 k+2nd ton=1+ 2-1 2(21-1) -3.12 (n-1)n(n-1) k=1 HALUC 53055AP 3 5 =2"- n²+ n-2 ① 2 2 n=1のとき 21-3.1²+5.1- ・1-2=1 n-1 k=1 n-1 Σ2は初項2, 公比 k=1 2 項数n-1の等比 数列の和。 a =1であるから,①はn=1のときも成り立つ。 したがって 主意 3 5 n-2 + a=2"-n²+n-2 初項は特別扱い an+1=an+f(n) 型の漸化式において,f(n) が定数の場合, 数列 {a} は等差数列となる。 24(0)

(1)です。 どこで計算ミスしているかわからないです 教えて欲しいですm(*_ _)m

指数のところが mk+c ならば, S-S を計算します。 考 演習問題 121 次の和 S, T をそれぞれ計算せよ. (1) S=1•2'+3・22+5.2°+... +(2n-1)・2" (2) T=1・2'+2・23+3・25+..+n・22n-1

微分積分の問題です。写真は問題と解答です （3）（4）がどの性質が使われているかわかりません 解答よりも細かい式を教えてくださると嬉しいです

2 dx=2° x2ndx を示せ。 □ 471nが0以上の整数のとき,Sex2n+1dx=0,Sex2mdx=250x ただし,αは定数とする。また,この性質を用いて,次の定積分を求めよ。 (1)Sexdx (3) S(2x-5x+3)dx -1 472 *(2) So₂x² dx -3 *(4) S_(5x+3x²-x+1)dx

このさきどう解けば良いのかが分かりません！答えは載せてあります。 教えてください！

(2) 2, n. 2K-1 5=1.20 5= 1.20 + 2.2 + 3.2² + + n. 2n+ -252 + cm 1.2 + 2.2² + am (n-1). 2nd + n. 2^ -S= 1 + 2 ↑ 24ut 2nd -7-27 =1+ 1-2

（1）の問題で2枚目のように解いたのですが、3枚目の通り、答えが若干合いません。どこが間違えているのか教えて欲しいです。解答の解き方とは異なっており、解答のやり方も分からないので、もしそちらも宜しければ教えて欲しいです。

考 参 演習問題 121 次の和 S, Tをそれぞれ計算せよ. (1) S=1.21+3.22+5.23+...+(2n-1).2" (2) T=1.2'+ 2・23+3・2+..+η・22n-1

数Bの問題です。オレンジの〜線の式を出すまでの途中式を教えてください。よろしくお願いします。

(Point) S=5.147.34938411.324 K= (2k 4.3) 3K-1 × 3 K=1 (2k43) 3F-1 N kal 一般項が毒(等と) (2+3)-3- S=3.1+ 7.3 +93 +11.34+ (2n+31.301 BS -25=514 5.3 + 13° +9.33 ++ (24411-3" 2nd 2.3+2.30+233+ 2.3112113135 -25= 54 6(301-11 (24+3). 35 3-1 -2S 2S= S = 2 n 5+3(3-1)-(2n+3)-3m -20 =5+34-3-3(2n+31 -2.34 (n+1)+2 どうやって 計算すればいい かわからないです。 3" (n+1)-1 (n=1のとき成立)

数IIの問題です。471(4)の解答の青いマーカーの部分がなぜ〝3x2＋1〟になるのかが分かりません。よろしくお願いします🙇

B □ 471 ηが0以上の整数のとき, x2n+1dx=0, x2ndx=2x2ndx を示せ。 -a ただし, αは定数とする。 また,この性質を用いて,次の定積分を求めよ。 6 (1) Soxedx (3) S(2x2-5x+3)dx *(2) Sx2dx *(4) S22( (5x3+3x2-x+1)dx

かこった部分ってどういうことですか？

基本 例題 79 実数解をもつ条件 (2) 00 (1)xの2次方程式 (m-2)x2-2(m+1)x+m+3=0 が実数解をもつよう に定数の値の範囲を定めよ。 (2)xの方程式 (m+1)x2+2(m-1)x+2m-5=0がただ1つの実数解をも つとき,定数の値を求めよ。 CHART & SOLUTION 方程式が実数解をもつ条件 (2次の係数) 0 ならば 判別式D の利用 (1) 「2次方程式」 が実数解をもつための条件は D≧0 基本78 MOITUIO ARD (2)単に「方程式」とあるから, m+1=0 (1次方程式) の場合と m+1≠0(2次方程式) の場合に分ける。 Cas)=0 30 O: D m+2nd 解答 (1) 2次方程式であるからm-2≠0 よって 2次方程式の判別式をDとすると m≠2 1/2={-(m+1)-(m-2)(m+3)=m+7 い 2次方程式が実数解をもつための条件は D≧0 であるから 26′ 型であるから, D bac を利用する。 -7≦m<2,2<m 呼の用さ m+7≧0 よって m≥-7 ゆえに (2) [1] m+1=0 すなわち m =-1 のとき よって、ただ1つの実数解 x=-- 7/4 をもつ。 [2] mキー1のとき 方程式は 現 -4x-7=0 m≠2 かつ m≧-7 -7 m

29番の(1)で必要十分条件を求める問題で、どちらが必要条件でどちらが十分条件か分からなくなってしまいました。考え方を教えて頂きたいです。

28 よって ここで ゆえに −(n=k+1}{n+k+1)+(n−k)(n+k) n→∞0 =-2k²+(2n²+2n+1) f(n)=-4 f(x)=x(2k² +2n² +2n+1) k²=0+22k², 1=2n+1 TA³5 k=1 −42 k²+(2n²+2n+1) (2n+1) k=1 − n(n+1)(2n+1)+(2n²+2n+1)(2n+1) lim 72-00 n³ (2) f(n) -1/(1+1/2)(2+1/2)+(2+1/2)(2+1)} =--²--1-2+2-2= 8 3 3 別解n≦x≦k, k≦x≦n と k<x<kに分けて,直線 y軸に平行な直線につ x=i (-n≦i≦n) 上にある格子点の数を求める。 さて格子点を数える。 = -n≦i≦k のとき, 格子点の数は k=-n 1+3++{2(n−k+1)−1}=(n−k+1)² = (+_____________ k<i<kのとき, 直線 x = i の本数は ←-k+1≦isk-1 各直線上の格子点の数は よって k-1-(−k+1)+1=2k-1 = I=gb S=b 2(n-k+1)-1=2n-2k+1 Nk=2(n-k+1)+(2n-2k+1)(2k-1) =-2k²+(2n²+2n+1) 総合を複素数とする。 自然数nに対し、2” の実部と虚部をそれぞれxとyとして、2つの数列 29 {Xn},{yn}を考える。 つまり, z=xn+iy" (iは虚数単位) を満たしている。 (1) 複素数zが正の実数と実数0を用いて z=r (cos0+isine) の形で与えられたとき、 数列{x},{ym} がともに0に収束するための必要十分条件を求めよ。 1+√3 10 = n(n+1)(2n+1) のとき、無限級数Σx とΣy はともに収束し, それぞれの和は n=1 71=1 x=2y=イロである。 (1) z=r (cos0+isin0) [r>0] のとき HINT (1) x²+y² = (r")2 となることに注目し, まず必要条件を求める。 (2) z を等比数列の和の公式を利用した式で表してみる。 ORAN z"=r" (cosnotisinn()=r"cosn0 +ir” sinne Xn=r" cosnd, yn=r"sinno よって ゆえに x2+yn²=(r")' (cos2nd+sin'nb)=(x2)" limxn=limyn=0のとき lim(x²+ym²)=0 〔類 慶応大] 本冊 例題 13,102 ←ド・モアブルの定理。 ←=xn+iy 0sr²<1 よって に0<r<1のとき 1-400 0<r<1より, lim|rl"=0であるから ゆえに 0≦|x|=||"|cos nolsrp. よって 0≦ly|=|||sinner| また 以上から、求める必要十分条件は +③iのとき 10 lim|x|=lim|y|= 0 71-00 ゆえに 1110 Z ここで1-2 lim xnn-000 ZR= ここで k=1 z(1-2)= 1-² よって 1- 1+√3 i 10 1+√3 i 10 k=1 84 3+5√3 i 42 (1+√3i)(9+√3 i) (9-√3i)(9+√3 i) 6+10√3i_3+5√3i 2x= k=1 1-2 (1-(xn+iyn)) 1+√3 i 9-√3i 11-0 0721 0<r<1 n=1] -(1-Xn-iyn) 2R= = 1/2 (3(1-xn) +5√3 yn+(5√/3 (1–xn)—3yn}i) z*= (xn+iyn)= xx+iZyn k=1 3(1-x₂)+5√√3 yn 42 ΣXn² n=1 42 5√3 (1-xn)-3yn 42 0</1/3 <1であるから, (1) の結果より limxn=limyn = 0 „=lim 11-00 2 k=1 2 = = = = ( 1²/2 + √²³_i) = = = (cos / 1 + isin) Σyn=lim- 11-0 ←Sa<1のとき a²19 a=1のとき、 α>1のとき、18 42 ←xel Saxolxel から、 xel 0のとき 初項z. 公比zの等比 数列の初項から第 環 までの和 12-00 3 (1-x)+5√3ym_3_71 42 5√3 (1-xn)-3yn_15√/3 42 -419 ←分母の実数化。 42 14 ← 22 のもう1つの表現。 ←実部、虚部をそれぞれ 比較。 (12) 結果を利用 総合 N=1 £ =lim ży

写真の質問に答えてください！

A Ž る こ この 1 る。 D 分計 国 192 n0 または正の整数とするとき, 次の等式が成り立つことを示せ。 S²₁x³dx=25x²dx, S²x²x=0 2月+1 S6xx-3)dx を求めよ。 (②) 定積分 CHART ODE Sxdx が偶数なら=2fjxdx.奇数なら=0 a が 0 または正の整数のとき √x dx=+1² 1C (Cは積分定数) を利用して定積分を計算する。 (-1)=-1, (-1)=1に注意。 の整式)の形であるから, (1)で示した等式を利用して計算。 (x 誰なんで、この指数か偶数だったら 1*** win+1 Ja a²+1 ①②から q²n+1 √(x²³dx = 2 [2+1] = 2n+i =20 2n+1(-1)2n+1.2 なるのですか? 2n+1 2n+1 2q²n+1 2n+1 a²n+1 2n+1 a²n+2 2n+2 a -0)= S2x2dx=250x2ndx 00 2n+2 1a a [²²dx= [ 2n+21²₁= 2n+2 基礎例題 189,190 ①① ① 2n+2 (-a)²n+2 2n+2 a 2n+2 -(-1)²n+2.. =0 =2(2-2³-3-2)=20 常にf(x)=f(x) を満たす関数f(x) 偶数,常にf(x)=f(x) を満たす f(x) を奇関数という (p.189 参照)。 上の例題で、 x ² は偶関数, x2 x²+1 は奇関数で ある。 192 定積分 (x+1)(2x-3) dx を求めよ。 (赤ライン)の耳に (-a)+1=(-1)2 +220+1. 2n+1は奇数であるから (-1)2 +1=-1 01 G -(-a)²=(-1)²+2 2012 2n+2は偶数であるから (-1)+2=1 |= [(6r-7x-3)dx=25"(6x-3)dx=2 [2x3x] [配分機 一定数項は 0.次であるから、 偶数次。 8章 0 38 yy=² a 「原点対称 定積分