xについての整式f(x) をx+2で割ると - 1余り, (x-1)' で割ると7x-5余
る. このf(x) を次の式で割ったときの余りを求めよ.
((1)) x-1
(2) (x-1)(x+2)
(3)(x-1)(x+2)
例題
2.2
【解答】
以下Q(x) (i=1, 2, 3, 4) はすべて整式を表すとする.
題意より
{f(x) =
Jf(x)=(x+2)Q(x)-1,
\ƒ(x) = (x − 1)²Q₂(x) +7x−5
とおける.
(1) f(x) を x-1で割ったときの余りは剰余の定理により, f(1) であるから, ② より, につい
･･･ (
f(1)=7･1-5=2.
(2) 整式f(x) を2次式(x-1)(x+2) で割ったときの余りは1次式か定数であるから ax+b (a,
bは定数) とおける. さらに, 商を Q3(x) とすると,
f(x)=(x-1)(x+2) Q3(x) +ax+b.
① よりf(-2)=-1, ② より f(1) = 2であるから,
[f(-2)=-2a+b= -1,
f(1) = a + b = 2.
したがって, α = 1,6=1 となり, 求める余りは,
(3) ②にx=-2 を代入すると,
x+1.
20
f(-2)=(-2-1)'Qぇ(-2)+7・(-2)-5
=9Qz(-2)-19= -1.
と書ける.これを②に代入すると,
この等式から Q2(-2)=2が導かれる.
剰余の定理により, Q2(x)はx+2で割ると2余ることがわかり,商をQ(x) とおくと,
Qz(x)=(x+2) Q4 (x) +2
f(x)=(x-1)^{(x+2)Q(x)+2}+7x−5
=(x-1)^(x+2)Q(x)+2(x-1)2+7x-5
=(x-1)^(x+2)Q(x) +2x+3x-3.
･･･(
