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基本 例題157 第n次導関数を求める (1)
重
nを自然数とする。
(1) y=sin2x のとき, ym)=2" sin(2x+
nπ
関数
であることを証明せよ。
2
重要158, p.271参考事項、
(2) y=x”の第n次導関数を求めよ。
p.265 基本事項 ]
が良
指針>y) は, yの第n次導関数 のことである。そして, 自然数nについての問題である。
自然数nの問題 数学的帰納法で証明 の方針で進める。
(2)では, n=1, 2, 3の場合を調べて ym を推測 し, 数学的帰納法で証明する。
注意 数学的帰納法による証明の要領(数学 B)
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
[2] n=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことを示す。
指針
解答
C
(1) ym)=2"sin(2.x+
0とする。
ae
[1] n=1のとき y=2cos2.x=2sin(2x+
π
)であるから,① は成り立つ。
2
証
k元
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
yl=2*sin(2x+)
2
n=k+1のときを考えると, ② の両辺をxで微分して (
(2r+)
yhリ=2" sin(2r+ 等+号)=2sinpzr+ lat)z}
d
-v(k)=2*+1 cos
dx
kπ
(2x+
ゆえに
ylk+1)=2*+1sin(2.x+
-2*+1sin{2x+
よって, n=k+1のときも① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて① は成り立つ。
(2) n=1, 2, 3のとき, 順に
n 2c
ゾ=ズ=1, y"=(x)"=(2x)'=D2·1, y"=(x°)"=3(x°)"=3-2-1
したがって, y®=n!
[1] n=1のとき ゾ=1! であるから, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
のと推測できる。
F
yle)=!
dk
xk=k!
dxk-
n=k+1のときを考えると, y=x*+1 で, (xh+1)'3(k+1)x* であるから
すなわち
yeD= -(k+1)x")=(&+1)
d
dk
de* \dx
よって, n=k+1のときも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて① は成り立ち
dxk
dk
ylo)=n!
