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基礎問
206 第7章 数 列
133 格子点の個数
3つの不等式x0,y≧02x+y=2n (nは自然数)で表さ
れる領域をDとする.
(1)Dに含まれ,直線 z=k (k=0, 1,..,n) 上にある格子点
(x座標もy座標も整数の点)の個数をんで表せ.
(2) Dに含まれる格子点の総数をnで表せ.
(別解) 直線 y=2k (k=0, 1, ..., n) 上の
格子点は (0,2k), (1,2k), ... (n-k2k
の (n-k+1) 個.
また,直線 y=2k-1 (k=1, 2,...,n) 上の
格子点は
(0, 2k-1), (1, 2k-1), …, (n-k, 2k-1)
の (n+1) 個. よって, 格子点の総数は
y
2n
207
y=2k
精講
計算の応用例として, 格子点の個数を求める問題があります。こ
れは様々なレベルの大学で入試問題として出題されています。
格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて数
え上げることもできますが,このように, nが入ってくると数える手段を知ら
ないと解答できません. その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。
ポイントによれば, 直線 y=k でもできそうに書いてありますが、こちらを
使った解答は (別解) で確認してください.
k=1
(n-k+1)+(n-k+1)
い
k=0
k=1
y-2k-1
2-(n-k+1)+(n+1)
n
0
'\n-k++
x
=n(n+1)+(n+1)
=(n+1)(n+1)
12群
=(n+1)2
第
注 y=2k とy=2k-1 に分ける理由は直線 y=k と2x+y=2n
の交点を求めると,(カー1k)となり,n-1がkの偶奇によって
20
整数になる場合と整数にならない場合があるからです。
解答
(1) 直線 =k上にある格子点は
例)(24)だった場合
(k, 0), (k, 1),, (k, 2n-2k)
1 8 3 5 0 0 Wy
For
2n
x=k
24-2
ポイントある領域内の格子点の総数を求めるとき
の (2n-2k+1 個.
2n-2k
注 座標だけを見ていくと, 個数がわかります.
I. 直線 x=k (または, y=k) 上の格子点の個数を
kで表す
(2)(1)の結果に,k=0, 1,
n
を代入して すべ
0
Ⅱ.Iの結果について計算をする
て加えたものが、Dに含まれる格子点の総数.
y=-2x+7h
=
(2n-2k+1)
=24721
第7章
◆ 等差数列
2
+1{(2n+1)+1}
等差数列の和の公式
= (n+1)2
演習問題 133
注 Σ計算をする式がkの1次式のとき, その式は等差数列の和を表
k=0
k=0
ろん、Σ(2n+1)-22k として計算してもかまいません。
しているので,212 (atan) (12) を使って計算していますが,もち
放物線y=x2 ① と直線y=n² (nは自然数 ...... ②
がある. ①と② で囲まれた部分 (境界も含む)をM とする. このと
次の問いに答えよ.
(1) 直線 z=k (k=1, 2,...,n) 上のM内の格子点の個数をn,
んで表せ.
(2) M内の格子点の総数をnで表せ.
