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例題 119 条件を満たす点の存在範囲
3 軌跡と領域 223
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座標平面上で,点P(x, y) x'+y'≦2 を満たしながら動くとき,次
の点が動く領域を図示せよ.
(1) Q(x+y,x-y)
(2) R(x+y, xy)
考え方 (1) x+y=X, x-y=Y とおき, x, y を X, Yで表すことを考える.
解答
(2)x+y=X,xy=Yとおき,(1)と同様に考えればよいが、そのとき,(1)と異なり,
X. Yが実数であってもx,yは実数とは限らないので,x, y が実数として存在
するための条件が必要になる.
(1)x+y=X,x-y=Y とおくと,
x=-
X+Y
X-Y
2y="
2
x2+y'≦2 より
(x+1)+(x_x)=2
x,y を X,Yで表す.
X,Yが実数のとき,x,
yも実数になる.
第3章
x2+y2=4
x,yを代入する.
したがって, X2+ Y°≦4
変数を x, y におき換えて,
x+y2≤4
-2
Q(X, Y) が動く領域
O
2x
よって, 点Qが動く領域は右
図は xy 平面上にかく.
の図の斜線部分で、境界線を含む.
(2)x+y=X, xy=Y とおくと, x, yは2次方程式
t2-Xt+Y=0 …………① の2つの解である.
したがって, ①の判別式をDとすると, x, y は
実数であるから, D≧0 である.
つまりD=XYよりX2
変数を x, y におき換えて,
y≤-
(2)
また、与えられた条件より, (x + y)²-2xy≤2
したがって, X2-2Y≤2
α,βを解とする2次方
程式の1つは、
x2-(a+β)x+αβ = 0
X. Yが実数でも, x,
yは①の解なので実数
とは限らない. X = 0,
Y=1 は下の③を満たす
が,①より,t=±i と
なり、点Pは存在しない.
XYの式で表す.
つまり,
YZX-1
変数を x, y におき換えて,
3x²-1......
...... ③
よって、②③より点Rが
y=1/2x1
O
2
動く領域は右の図の斜線部分で、
境界線を含む.
練習
119点が動く領域を図示せよ.
座標平面上で,点P (x,y) が|x|≦1,y|≦1 を満たしながら動くとき,次の
(2) R(x+y,xy)
•p.230 37 38
**** (1)Q(x+y.x-y)
