Question

ゆる

☆高校数学IIです☆
(1)の二つの放物線に接する接線の求め方がわかりません。
どなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

Think
TA
例題 234 放物線と接線の囲む面積(2)
****
2つの放物線y=x-5x+7, Cly=x'+3x-1 の両方に接する
直線を l とする.
(1) 直線 l の方程式を求めよ.
(2) 放物線 C1, C2 と直線 l とで囲まれた図形の面積を求めよ.(工学院大)
考え方 (1) C に接する直線を考え、それが C, にも接することから求める。
(2) グラフをかいて求める部分を確認する.
解答
(1) C:y=x-5x +7 に接する直線を考える.
の方程式は,
接点のx座標をα とおくと, y'=2x-5 より 接線
y-(a²-5a+7)=(2a-5)(x - a)
y=(2a-5)x-a²+7
この接線が C2:y=x+3x-1 にも接する.
x2+3x-1=(2α-5)x -α+7
x2-2(α-4)x + α-8=0 ...... ①
①の判別式をDとすると,接するから,
D
D=0
α=3
y=x-2
21={(α-4)}-(α-8)=0 より
よって、直線lの方程式は,
-
(2)2つの放物線 1, C2 と直線lとで囲まれた図形は右
下の図の色をつけた部分である.
C,C2 の交点のx座標は,
x2-5x+7=x2+3x-1 より,
x=1
C と l の接点のx座標は,(1)より x=3
C2 と l の接点のx座標は,
x2+3x-1=x-2より,x=-1
よって、 求める面積は,
S_{(x+3x-1)(x-2)}dx
+(x-5x+7)(x-2)}dx
=S(x+1)dx+S (x-3)dx
C, の接線と C2 の接
線が一致するとき、
この直線はCとC
の両方に接すること
を利用してもよい。
接点の座標は
(a, a²-5a+7)
を消去して接点
このx座標を求める 2
次方程式を作る.
接する
← 判別式 D=0
(重解をもつ
α=3 を接線の方
式に代入する.
3-
IC2
023
-2
-3
・23-
(-2)³-
3
Focus
放物線と接線 連立して (判別式) = 0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

y=f(x)のx=αにおける接線の方程式はy-f(α)=f'(a)(x-a)となる。

ゆる

たてもわかりやすい解説ありがとうございました！！長文を書いてくださりありがとうございました！！すごく助かりました🙇‍♀️