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330
-数学 B
-(2(n+1)-3)=-3{an-(2n-23)
また
a+-
a1-(2·1-2)-
したがって、数列{0.-(2-2)は、初項 12.公比-3の
等比数列であるから a.-(2n-12/3)-1/2/3(-3)m
ゆえに
an=-
G-1+2n-
400
基本 例題 32 an+1= pantq 型の漸化式
次の条件によって定められる数列{az} の一般項を求めよ。
41=3, an+1=24-3 +1
CHART & SOLUTION
漸化式 = pan+g" (p≠1)
① 両辺を "+1 で割る ②両辺
で割る
形 bnon とおくとbatic/bt/1
9
もの係数が1
♡が解消
b=0 とおくと bm=i.bnt-
これを整理すると
an+1+3a-4(2n-1)
に戻る。
(2) 8ant=ant 2 の両辺に 2” を掛けると
4.2"+αn+1=2"α+3
ba=2" とおくと
461=b+3
よって
bn+:=b+3
.
PR
次の条件によって定められる数列 (a)の一般項を求めよ。
3
③ 32
(1) α=5, +13 +2.5 +1
(2) a1=1,8as+1=0n+2
(1) an+1=3a+2.5 +1 の両辺を5+1 で割ると
b= とおくと
bn+1=b+2
これを変形すると
ba+1-5=(bn-5)
またb-5-5-12-5=-4
よって, 数列{bm-5} は初項 -4,公比 1232 の等比数列である
56-5=(-4)-(3)
したがって
\n-1
ゆえに b" =5-4・
α=5"6=5"+1-20-3-1
別解 α+1=30万 +2.5 +1 の両辺を3"+1で割ると
=
5\+1
bn=1 とおくと bury = bu+2.23) また b=
ba+=b+2-1
よって, n≧2 のとき
6=61+
\k+1
2.
①
n=1 とすると
b=1/3であるから,①はn=1のときにも成り立つ。
ゆえに
a-3b=5*1-20-3"-1
1
(1) a₁=1,
an+1
基本 例題 33
次の条件によって定められる数列
分数型の漸化式
1
-=3"-1
an
CHART & SOLUTION
分数型の漸化式 逆数を利用
(2)漸化式の両辺の逆数をとると
その式において,b= とおく
am
第1章 数列
-331
1
とおくと
b
(1) bran
+1=pan+g" にお
1章
いが分数 (-1/2)
PR
の場合である。
2-3 (12) と考え.
(1/2)" で割る。すなわち
n≧2 のとき
b2=1/2=1から
a
であるからこの
したがって
(2) a
2=1/10, および
bm=bi
b=1
an-3-
これを変形すると bn+1-1= (bn-1)
また
b-1=2′・α-1=2・1-1=1
よって, 数列{bm-1} は初項1,公比 1/12 の等比数列であるから
bm-1=1-(1)
2" を両辺に掛ける。
ゆえに
bn=1+(1)
したがって am=
(1)
別解 8an+1=an+ の両辺に 8” を掛けると
8"+1an+1=8"an+3.4"
f(n+1)+1
=f(n)an+の形にす
る方針。
-234+2を解くと
b=8"α とおくと bm+1=6+3.4
RA
a=5
また b1=8′・α=8.1=8
よって, n≧2 のとき
C=b-5 とおくと
bm=b1+23.4=8+
3-4(4-1-1)
4-1
=4+4 ...... ①
Cn+1
Cnti-C
n=1 とすると 4'+4=8
③33
3
{bm} の階差数列を
{c} とすると
6,8 であるから, ① は n=1のときにも成り立つ。
ゆえに
a= ==
bn
8" 8"
23-2
初項は特別扱い。
(2) a₁ =
+1=-
4an+5
PR 次の条件によって定められる数列 (an)の一般項を求めよ。
1
(1)=1,
1-3n-2
anti an
1
an
(1) bm= とおくと by+1bn=3n-2
n≧2 のとき
Cn=bn+1-bn=2.33
bn=b₁+(3k-2)
Σの中の初項は
1=1から
b=-
数列 (b) の階差数列
の一般項が3ヵ-2
2(n-1)n-2(n-1)
2-7n+6)
n=1のときにも成り立つ。
1 (3k-2)
(n-1)(1+(3n-5))
としてもよい。
(初順1 末頃3n-5, 項
数n-1の等差数列の和
と考えた。)
b=1で
初項は特別扱い。
よって
7n+6
に対して αn=0 となる
漸化式の両辺の逆数を
an+1
よって
an+1
1 とおくと
b=-
an
b = 4 であるから
したがって
an
PRACTICE
33
次の条件によって
(1) a=1,
An+1
