題)
(定積分の利用)
413
1
2
3
10g(n+1)<1+!
<logn+1
n
1
基本 245,248
6
数列の和1+
2
演習 254
は簡単な式で表されない。そこで, 積分の助けを借りる。
3
n
の下側の面積と階段状の図形の面積を比較 して, 不等式を
50
すなわち,曲線=
x
証明する。
或を
L<図
ソ=
1
1
S
x
11
sk+1
1
L--または
に及+1
*k+1 dx
k
式の
ーーではない
1
1
x
k+1 dx
(+1 dx
*k+1
dx
1
を+1)
0|123…nt
x
n-1 n+1
k 。
から
k
x
)R
1
k+1
* e+1 dx
く
k
よって
k+1
k
0
k
k+1
ソ=
-図<|
1
(k+1 dx
k
1
A から
tan
口
k+1
x
式の
等く。
n Ck+1 dx
1
n
AAでR=1, 2, , nと
して辺々を加える。
x
k=1 k
k=1Jk
1 (e+1 dx
(n+1 dx
1n+1
でn+1
=|logx
0|123…| n
-1
x
x1
1
k=1Jk
*n+1
<ngol-=log(n+1)
であるから
1
1
1
log(n+1)<1++
2
3
の
n
5(
n-1ck+1 dx
A©でR=1, 2,
として辺々を加える。
1
·e+1 dx
n-1
から
11
k+1
k=1k+1
k=1Jk
x
「k
x
1-1(k+1 dx
2
k=1Jk
1
1
3
<logn
*n dx
-S- log|「-logn であるから +言
2
n
1 x
の
この不等式の両辺に1を加えて
1
1
1
1+
<logn+1
n
3
ここで、
0であるから
1
<logn+1
n
1
1
よって,O, のから, n>2のとき
log(n+1)<1+
2 3
0:0.0 20S
0-01 10 (2) お茶のだ
hb とす る。
