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10 対称点
原点を0とする複素数平面上に, Oと異なる点A(a), および, 2点0, Aを通る直線!がある。
(1) 直線1に関して点P(z)と対称な点をP'(z')とするとき,'=zが成り立つことを示せ。
(2) α=3+iとする.B=2+4i, y=-8+7iを表す点をそれぞれB, Cとおく。
点Bの直線1に関して対称な点をB'(8')とする.B'を求めよ。
線分 OA 上の点 Q(w)について, ZAQB=ZCQOが成り立つときの wを求めよ。
(2-1)
(2-2)
(九工大·工)
原点を通る直線に関する折り返し
(バーをつけるだけ、z→z)ので, 1が実軸に重なるようにOを中心に回転さ
せて考える。1(r軸を0回転したもの)に関して対称な位置にあるP(z),
P'(2')については, 0回転を表す複素数を wとすると, P, P'を-0回転した
実軸に関する対称点はすぐに分かる
P(z)/
pte)
A。
*Q
O%0
点Q(三).() (2)= ととらえる
が実軸に関して対称であるから,
る()
W
W
ことができる。
92
■解答
(1) arga=0とおくと, P, P'を0のまわりに-0回転して得られる2点Q,女上図を参照。
Qは実軸に関して対称である。
a=|a|(cos0+isin0)であるから, 0回転を表す複素数は,
(=wとおく)
W
よって、()-
2'
る
0 -
2= w
lal
W
W
W
w
10-10i
(10-10i)(3+i)
3+i
(2-4i)=4-2i
3-i
0-
(2)(2-1)(1)により, β'=ーB
3-i
10
=(1-i)(3+i)=4-2i
(2-2) B'とBは1に関して対称であるから,
ZAQB'=ZAQB=ZCQO
, B, Y, B'' の具体的な値から,右図のようにな
り,3点B, Q, Cは同一直線上にある.よって,
C(Y)
B(B)
A(a)
OAロ
全0Q=(1-s)OB'+sOC
B(8')
Q(w)
20=(1-s)B'+sy (sは実数)
とおけ,
w=(1-s)(4-2i)+s(-8+7i)
=4-12s+(9s-2)i
QはOA 上にもあるから, w=ta=t(3+i)=3t+ti (tは実数)
とおける。これらが等しいから, 4-12s=3t, 9s-2=t
i
24-12s=3(9s-2)
12
10
S=
39
4
t=
13
. w=t(3+i)=
13
13
1=2+2;, 22=ー1+3iとし, 複素数平面においてP(2), Q(22) とする. また原点を
0とし,直線 OQ に関し点Pと対称な点をR(z3)とおく.
010 演習題 (解答は p.69)
COsetisin0 を求めよ。
(2)(1)を利用して回
