59 7 が和理数であることの証明 のの@@②②
理数であることを古因せよ。ただし。 を自然数とするとき, が7の
\, は7 の倍数であることを用いてよいものとする<
なら【 0
(大 を
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無理数であることを 直接証明することは難しい。そこで, 前ページの例題と同様
に 《 直拉がだめなら問接で 彰理法
に従い「無理数である」ニ「有理数 でない」 を, 背理法 で証明する。
っまり、7 が有理数(すなわち 既約分数 で表される) と仮定して矛盾を導
峰対 ? つの自枯数g。 のが1以外に公約数をもたないとき, とりらは 岳いに奏での
(吉光承といい, このとき, は 人 でぁぁ。 の人か
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記語末机 がのをん7だ772P 23 「そ暫痢4条と
な 9 開品 。 仙史ヒー
/7 が無理数でないと仮定すると。 1以外にGEの公約数をもた ゆみ
」 ない自然数 2を用いて, 77 =入 た表される。 4/7 は実数であり, 無理数
電 でないと仮定しているから。
このとき g=ア7 2 有理数である。
施痕を 2 乗すると の7が …… @
ょってで,の は7 の倍数であるから, 6も7 の倍数である。
ゆえに, cを自然数として, ニニ7c と表される。
この両辺を 2 乗すると のー49c2 …… ②
①⑪ の②から5 7の=49c2 すなわち が=7c2
ょって, は7 の倍数であるから, らも 7 の倍数である。 これも,「ただし書き] に
ゆえに, とらは公約数 7 をもつ。 に
これは, gとが1以外
したがって, 7 は無理数である。
例題の「ただし書き] を用
いている。
よ