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基本例題 38 2次方程式の解の判別
次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし, kは定数とする。
(1) 3x²-5x+3=0
(2) 2x²-(k+2)x+k-1=0
(3) x2+2(k-1)x-k²+4k-3=0
pp.66 基本事項
指針 2次方程式 ax2+bx+c=0の解の種類は,解を求めなくても、判別式 D の符号だけで
別できる。
2次方程式の解の判別
[D>異なる2つの実数解
D=0⇔重解重解はx=-
解答
与えられた2次方程式の判別式をDとすると
(1) D=(-5)-4・3・3=-11<0
よって異なる2つの虚数解をもつ。
(2) _D={-(k+2)}²−4•2(k-1)=k²+4k+4-8(k-1)
D<0⇔ 異なる2つの虚数解
(2),(3) 文字係数の2次方程式の場合も,解の種類の判別方針は, (1) と変わらないが,
がんの2次式で表され,kの値による場合分けが必要となることがある。
=k²-4k+12=(k-2)+8
ゆえに,すべての実数んについて D>0
よって、 異なる2つの実数解をもつ。
(3) =(k-1)²-1·(−k²+4k-3)=2k²-6k+4____
=2(k²-3k+2)=2(k-1)(k-2)
よって, 方程式の解は次のようになる。
D0 すなわち k<1,2くんのとき
異なる2つの実数解
D = 0 すなわち k=1,2のとき
重解
D< 0 すなわち 1 <k<2のとき
異なる2つの虚数解
・D<0-
一D>O¬
2
b
2a
・D> 0 -
00000
•S•)—²a\±¿—
TUS 01 CON
{-(k+2)}^の部分は,
(-1)' = 1 なので、 (+2)^
と書いてもよい。
ax2+26'x+c=0 では
a=b"-ac を利用する。
D
α<βのとき
(x-α)(x-B)>0
⇒x<a, B<x
α<βのとき
(x-α)(x-B) <0
⇔a<x<B
