? &F}$;& ax² ( a + 1)x− q = =
1つの実数解をもつように, 定数αの値の範囲を定めよ。
p.207 基本事項 2 重要 130
指針 f(x)=ax2-(a+1)x-a-3(a≠0) として
[a>0]
[a<0]
グラフをイメージすると,問題の条件を満
たすには y=f(x) のグラフが右の図のよ
うになればよい。
y=f(x)
+
-1
+
0
1
+
すなわち f(-1) f (0) 異符号
0
0
2x
y=f(x)
[f(-1)f(0)<0]
かつf(1) f (2) が異符号
[f(1)(2)<0]
である。 αの連立不等式を解く。
CHART 解の存在範囲 f(b)f(g) <0ならpgの間に解(交点) あり
f(x)=ax²-(a+1)x-a-3とする。ただし a≠0
解答題意を満たすための条件は,放物線y=f(x) が-1<x<0,
1 <x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。
すなわち f(-1)f(0) <0 かつ (1)(2)<0
ここで
2次方程式であるから,
(x2 の係数) ≠0 に注意。
注意指針のグラフからわ
かるように,a>0 (グラフ
f(-1)=a•(−1)-(a+1)・(−1)-a-3=a-2, が下に凸),α<0(グラフ
f(0)=-a-3,
f(1)=a•12-(a+1)・1-a-3=-a-4,
f(2)=a・22-(a+1)・2-a-3=a-5
f(-1)f(0) < 0 から
(a-2)(-a-3)<0
ゆえに
(a+3)(a-2)>0
よって a<-3, 2<a
......
①
が上に凸) いずれの場合も
f(-1)(0) <0 かつ
f(1)f(2)<0
が、題意を満たす条件であ
る。 よって,a>0のとき
α < 0 のとき などと場合分
けをして進める必要はない。
また,f(1)f(2)< 0 から
(-a-4)(a-5)<0
(a+4)(a-5)>0
ゆえに
よって a<-4,5<a
......
①②の共通範囲を求めて
a<-4,5<a
これは α≠0 を満たす。
練習 2次方程式 ax²-71
29
-4-3
2
5
